2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．参考公式：数学期望：，方差：一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．复平面内，复数所对应的点在第▲象限．2．命题“R，使得成立”的否定是▲．3．已知，则▲．4．写出命题“若，则”的逆否命题：▲．5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲、乙相邻的不同排法种数是▲．（用数字作答）6．若复数满足，则复数的模的最大值是▲．7．命题：若，则过点的直线与圆有两个公共点．将此命题类比到椭圆中，得到一个正确命题是▲．8．某人每次射击命中目标的概率为，现连续射击10次，设击中目标的次数为，则=▲．9．已知：高二数学（文科）第1页共4页，按此规律请写出第100个等式：▲．10．已知复数和复数，当为▲时，．11．已知，则▲．12．在用数学归纳法证明“对一切大于2的正整数，”的过程中，从到时，左边增加的项数为▲．13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有▲种．（用数字作答）14．已知，其中为常数．则下列所有正确命题的序号是▲．“⑴中存在负数”的一个充分条件是“”；⑵若，则“”是“为中最大的一个”的必要不充分条件；⑶若，则“不等式中恰有3个成立”的充要条件是“”；⑷若，则“是4的倍数”是“”的充分不必要条件．二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）高二数学（文科）第2页共4页15．（本题满分14分）已知圆：在矩阵所对应的变换作用下变为曲线．⑴求曲线的方程；⑵求逆矩阵；⑶求矩阵的特征值和特征向量．16．（本题满分14分）已知直线过点，且倾斜角为．⑴求直线的极坐标方程；⑵求直线被曲线（为参数）截得的弦长．17．（本题满分14分）一个盒子内装有形状和大小完全相同的3个红球和个白球，事件“从中取出两个球，恰好有一个红球”发生的概率为．⑴若，①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率；②设为取出的4个球中红球的个数，求的数学期望和方差．⑵求证：；18．（本题满分16分）已知函数和．⑴命题，恒成立；命题函数高二数学（文科）第3页共4页在上单调递增．若和都是真命题，求实数的取值范围；⑵设，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围．高二数学（文科）第4页共4页19．（本题满分16分）设集合中元素的个数分别为．现从集合中各取一个元素，记不同取法种数为．⑴求；⑵是否存在常数，使得对任意总成立？若存在，请求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知等差数列的公差为，，且的展开式中与的系数之比为．⑴求的展开式中二项式系数最大的项；⑵设，，求的值；⑶当时，求证：．高二数学（文科）第5页共4页2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）参考答案1．四2．，总成立3．14．若，则5．126．7．若，则过点的直线与椭圆有两个公共点8．89．10．11．或12．13．93014．⑴⑶⑷15．解：⑴设为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一点，则，…………………………………………2分即，所以，又因为点P在曲线上，所以，故有．即圆C：在矩阵对应的伸压变换下变为椭圆：．…………4分⑵设矩阵的逆矩阵为，则，………………6分即，故从而所求的逆矩阵．…………8分⑶矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值，．…………10分将代入二元一次方程组解得，可以为任何非零实数，不妨记，且．于是，矩阵的属于特征值2的一个特征向量为．…………12分高二数学（文科）第6页共4页将代入二元一次方程组解得，可以为任何非零实数，不妨记，且．于是，矩阵的属于特征值1的一个特征向量为．因此，矩阵的特征值为，，分别对应的一个特征向量是，．…………14分16．解：⑴设直线上任意一点为，如图，在中，由正弦定理得…………3分于是，即．所以，直线的极坐标方程是．………...
