2.3.1抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)Fp2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0)F－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0)F0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0)F0，－p2y＝p2思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．[基础自测]1．思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．()(2)抛物线是双曲线的一支．()(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上．”()[答案](1)×(2)×(3)√2．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)B[抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]3．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]4．抛物线x＝4y2的准线方程是()【导学号：97792096】A．y＝12B．y＝－1C．x＝－116D．x＝18C[由x＝4y2得y2＝14x，故准线方程为x＝－116.][合作探究·攻重难]求抛物线的标准方程根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝23；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．[思路探究](1)(2)由题意可确定方程形式→求出p→写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解](1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p2＝23，则p＝43，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.(3) 点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.[规律方法]1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p与p2的几何意义．[跟踪训练]1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；(2)过点(4，－8)；(3)焦点在x－2y－4＝0上．[解](1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝16，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m·(－3)，即m＝－13，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p′y(p′＞0)，将点(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)代入x2＝－...
