第三课空间向量与立体几何[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共线向量定理的推论：若OA→，OB→不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是OP→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要结论：a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；②cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝(a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2.4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α?u∥v?u＝kv?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；l⊥m?a⊥b?a·b＝0；l∥α?a⊥u?a·u＝0；l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；α∥β?u∥v?u＝kv，k∈R；α⊥β?u⊥v?u·v＝0.5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3-1①，AB，CD是二面角α-l-β的两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．图3-1(ⅱ)如图3-1②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．[体系构建][题型探究]空间向量的基本概念及运算如图3-2，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：图3-2①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→·SB→＝SC→·SD→；⑤SA→·SC→＝0.其中正确结论的序号是________．[解析]容易推出SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA→·SB→＝2·2·cos∠ASB，SC→·SD→＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA→·SB→＝SC→·SD→，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案]③④[规律方法]1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影a·b|b|＝|a|·cosθ等．[跟踪训练]1.如图3-3，已知ABCD-A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的34分点，设MN→＝αAB→＋βAD→＋γAA′→，则α＋β＋γ＝________.图3-332[连接BD，则M为BD的中点，MN→＝MB→＋BN→＝12DB→＋3...
