向量法求空间角(高二数学,立体几何)VIP免费

ABCDPQ向量法求空间角1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，DPAD，CD平面ADPQ，DPAQAB21．（1）求证：PQ平面DCQ；（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．试卷第1页，总3页DBACOEP3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.（1）求证:平面;（2）求证:平面平面;（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中,PD底面ABCD,且底面ABCD为正方形,GFEPDAD,,,2分别为CBPDPC,,的中点．（1）求证://AP平面EFG;（2）求平面和平面的夹角.试卷第2页，总3页HPGFEDCBA5．如图，在直三棱柱中，平面侧面且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.6．如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，2ADPDEA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.试卷第1页，总3页参考答案1．（1）详见解析；（2）4【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设aAB，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,,(aaQ，)0,2,0(aP，则可表示出),0,0(aDC，)0,,(aaDQ，)0,,(aaPQ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0PQDC，0PQDQ，故PQDC，PQDQ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为)1,0,0(1n；设平面BCQ的一个法向量为),,(2zyxn，则02QBn，02QCn，故,0,0azayaxazay即,0,0zyxzy取1zy，则0x，故)1,1,0(2n，转化为两个法向量的夹角，设1n与2n的夹角为，则2221||||cos2121nnnn．即可求出平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设aAB，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,,(aaQ，)0,2,0(aP，故),0,0(aDC，)0,,(aaDQ，)0,,(aaPQ，因为0PQDC，0PQDQ，故PQDC，PQDQ，即PQDC，PQDQ，又所以，PQ平面DCQ．（2）因为DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为)1,0,0(1n，点B的坐标为),0,(aa，则),,0(aaQB，),,(aaaQC，答案第11页，总13页本卷由【在线组卷网www.zujuan.com】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。设平面BCQ的一个法向量为),,(2zyxn，则02QBn，02QCn，故,0,0azayaxazay即,0,0zyxzy取1zy，则0x，故)1,1,0(2n．设1n与2n的夹角为，则2221||||cos2121nnnn．所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为4考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2．（1）;（2）;（3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.【解析】试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝a，MO=12a,tan∠PMO＝,∠PMO＝60°;（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故AOE为直角三角形，OE＝PD＝＝a∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四...