空间向量的数量积VIP免费

空间向量的数量积运算S�F�W=|F||s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算:1)两个向量的夹角的定义:OABaabb如图,已知空间两个非零向量、ab,在空间任取一点O,作OAa�,OBb�,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴规定:0,ab≤≤⑷如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab,,abba这样规两个夹＝(2)在的定下，向量的角就被唯一确定了，并且⑶,ab=0时,ab与同向;,ab=π时,ab与反向2）两个向量的数量积已知空间两个非零向量、ab,则cos,abab叫做、ab的数量积,记作ab即cos,ababab.注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.③、仍是、的模。abab注:性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据；注:性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据；显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:①cos,aeaae；②0;abab③2aaa也就是说2aa.(3)空间两个向量的数量积性质(4)空间向量的数量积满足的运算律⑴()()abab⑵abba(交换律)⑶()abcabac(分配律)这些运算律成立,说明数量积不仅有用,而且运算起来还极为方便空间两个非零向量ab、的数量积ab:cos,ababab①22||aa即2||aa(求线段的长度);②ab0ab(垂直的判断);③cos,ababab(求角度).以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.也有下列三个重要性质：abab,ab课堂练习222222)()()()3)()()4)()abcabcpqpqpqpqpq��1.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.2.判断真假:1)若0,ab则0,0ab()1352变：若呢？ab在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！适当取向量尝试看看！a证明：如图,已知:,,,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA��()0aPAaPOOAaPOaOA����,aPAl��即PA.为POAla0,0aPOaOA��三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POAla已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lPA，求证：lOA分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:.⊥llllmngm�g�m�l取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?lmngng�m�l,gxmyn�,lgxlmyln��0,0,lmln...