第14讲函数模型及其应用VIP免费

了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题．8函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识．一般而言，有以下种函数模型：2(0)(0)(0)(001)xfxkxbkbkkfxbkbkxfxaxbxcabcafxkabkabkaa①一次函数模型：、为常数，；②反比例函数模型：、为常数，；③二次函数模型：、、为常数，，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的；④指数型函数模型：、、为常数，，且；log(001)(00)“”(0)“”“”anfxmxnmnamaafxaxbabnanfxxkk⑤对数型函数模型：、、为常数，，且；⑥幂函数型模型：、、为常数，，；⑦勾函数模型：为常数，，这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个勾号，故我们把它称之为勾函数模型；⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．1.(2014·山东日照模拟)下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()A.一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型A【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2.(2014·山东阜阳模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选C.3.(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图中记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【解析】所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75时，p有最大值．4.(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B.p＋1q＋1－12C.pqD.p＋1q＋1－1【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝1＋p1＋q－1.5.(2014·山西临汾一模)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元．【解析】设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.一已知函数模型问题【例1】(2014·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为(0.05t－120000t2)万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？【解析】(1)当0500时，f(x)＝0.05×500－120000×5002－(0.25×x100＋0.5)＝12－1400x，(2)当0500时，f(x)＝12－1400x<12－54＝434＝34432<34532.故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”...