平面向量基本定理VIP专享VIP免费

第1页共15页平面向量基本定理教学目标1．了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3．两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[基础·初探]教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题．1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.()解：(1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．(3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立．【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题．第2页共15页1.夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图2－3－1所示)．图2－3－1(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°．(2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．如图2－3－2，在△ABC中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为________．图2－3－2解：根据向量夹角定义可知向量AB，AC夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹角为π－∠BAC．故二者互补．【答案】互补[小组合作型]用基底表示向量(1)已知AD是△ABC的BC边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．(a－b)B．－(a－b)C．－(a＋b)D．(a＋b)(2)如图2－3－3，设点P，Q是线段AB的三等分点，若OA＝a，OB＝b，则OP＝________，OQ＝________.(用a，b表示)第3页共15页图2－3－3用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．解：(1)如图所示，因为AE＝AB＋AC＝2AD，所以AD＝(a＋b)．(2)OP＝AP－AO＝AB＋OA＝(OB－OA)＋OA＝OA＋OB＝a＋b，OQ＝AQ－AO＝AB＋OA＝(OB－OA)＋OA＝OA＋OB＝a＋b.【答案】(1)D(2)a＋ba＋b平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．[再练一题]1．已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b用a，b表示AD，AE，AF.第4页共15页图2－3－4【解】AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；AE＝AB＋BE＝AB＋(b－a)＝a＋b；AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b.向量的夹角问题(1)(2016·韶关高一检测)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________．(2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．解：(1)作BC＝a，CA＝b，则c＝a＋b＝BA(如图所示)，则a，b夹角为180°－∠C．因为|a|＝1，|b|＝2，c⊥a，所以∠C＝60°，所以a，b的夹角为120°.【答案】120°(2)由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．如图， |a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.第5页共15页又 OC＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．[再练一题]2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°...