函数值域求法十一种(免费)VIP专享VIP免费

函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数x1y的值域。解： 0x∴0x1显然函数的值域是：),0()0,(例2.求函数x3y的值域。解： 0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2 ]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21例5.求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1） Rx∴0y8)1y(42解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：]2,0[22222x41即当22222x41时，原函数的值域为：]21,0[注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数6x54x3值域。解：由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex 0ex∴01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例8.求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2 Rx∴]1,1[)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,426.函数单调性法例9.求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在[2，10]上都是增函数所以21yyy在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log2y33min当x=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81例10.求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在],1[上为无上界的增函数所以1yy，2y在],1[上也为无上界的增函数所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为]2,0(7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2 43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[例12.求函数2)1x(12xy的值域。解：因0)1x(12即1)1x(2故可令],0[,cos1x∴1cossincos11...