数学 几何论证题中辅助线的添加方法VIP专享VIP免费

中考数学复习专题——几何论证题中辅助线的添加方法例1：如图：等腰梯形ADBC中AB∥CD，底角∠ABC=450对角线AC、BD交于点O，且∠BOC=1200求：的值分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为∠BOC=1200的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D（或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求的比值。证明：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于EAD∥BCAD=CFAC∥DFAC=DF等腰梯形ABCDDB=ACBD=DFAC∥DF∠BDF=∠BOC=1200DE⊥BF∠BDE=600BE=EFBE=EF=∠BED=900设DE⊥BC∠BCD=450EF=.例2：如图：已知直线PQ是线段AB的中垂线，C是OQ上的任意一点，若OD⊥BC是于D，M是OD的中点求证：CM⊥AD1分析：在已知条件中，PQ是线段AB的中垂线，同学们肯定想到连结AC运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM⊥AD，从图中观察到如能证得∠1=∠A，那么CM⊥AD即可成立；而∠A除了在Rt△AON中，它还在△AOD中，若把∠1也放到与△AOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与△AOD相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M是OD的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC的中点为G，想法证明△AOD∽△CGM。通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM。因此证：是本题又一关键。证明：取OC的中点为G，连GM, PQ是AB的中垂线,∴∠BOC=900设OA=OB=a，OD=b. OD⊥BC,∴∠CDO=∠ODB=900 ∠4+∠3=900，∠3+∠B=900.∴∠4=∠B，△COD∽△OBD.∴，G、M为OC、OD的中点.∴OC=2CG，CD=2GM..∴，△AOD∽△CGM.∴∠1=∠A. ∠A+∠ANO=900∴∠1+∠CNH=900即∠NHC=900，CM⊥AD.例3：如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点，AF和DE交于点P求证：CP=CD2图（1）图（2）分析：要证明CP=CD，因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证：思路（1）：只要证对角相等，即证∠1=∠2。如图（1）分别寻找∠1、∠2的等量， ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠2=∠AEP，∠1=？，延长CP交AB于G，∴∠1=∠EPG。要证∠1、∠2只要证∠AEP=EPG，由已知可知，E、F为AB、BC的中点可证：△AED≌△BFA，可得AF⊥DE，P为垂足。假设∠AEP=∠EPG，G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得，设PE为a，PA为2a，PD为4a，因为AE∥CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得G为AE的中点，PG是AE的中线，∠AEP=∠EPG成立。从分析的过程中得到思路（2），思路（3）：要证CP=CD，只要证：C在线段PD的中垂线上，取AD的中点，连CH、PH，证：四边形AFCH为平行四边形，由思路（1）可知，AF⊥DE，故CH⊥DE，再证：CH平分PD，通过Rt△APO易证CH平分PD。证明方法（1）： E、F为AB、BC的中点，ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE，BF=AE∴△ADE≌△BAF，∴∠ADE=∠EAP ∠EAP+∠DAP=900，∴∠ADE+∠DAP=900，∴∠APD=∠APE=900， ∠ADE=∠EAP，∴△APE∽△DPA，∴∴，AB∥CD∴1:2，∴G为AE的中点，PG=EG ∠GEP=∠GPE， ∠GPE=∠1，∠GEP=∠2∴∠1=∠2，CP=CD证明方法（2）（如图2）：取AD的中点为H，连CH、PH.. ABCD是正方形，∴BC∥AD，BC=AD，F、H为BC、AD的中点，∴CF∥AH，CF=AH，∴AFCH为平行四边形.∴CH∥AF，由证明方法（1）可知AP⊥DE，故CH⊥P.在Rt△APO中，PH为斜边中线，3∴，∴CH垂直平分PD，∴CP=CD.例4：⊙O1与⊙O2相交于点A，P是O1O2的中点（1）如图（1）如果AC切⊙O2于点A，交⊙O1于点C，D是AC的中点求证：PA=PD（2）如图（2）如果过点A作两圆的一条割线交⊙O1于点C，交⊙O2于点B，点D是BC的中点，那么PA与PD是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。图（1）图（2）分析（1）：由已知可知，P为O1O2的中点，D为AC的中点，AC切于⊙O2于点A。想到常用辅助线，连O1D、O2A，由O1D⊥AC，O2A...