简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为()A.B．－C.D．－[答案]C[解析]设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝－，0<<， 2cos2－1＝cosα，∴sinβ＝sin(－)＝cos＝＝，故选C.(理)(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx在区间[－，]上的最大值为()A.B.C．1D.[答案]D[解析]f(x)＝＋sin2x＝sin＋ －≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)的最大值为.2．(文)已知tanα＝－2，则sin2α＋cos2α的值是()A.B.C.D.[答案]B[解析]sin2α＋cos2α＝＝＝.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝()A．－B．－C．－2D.[答案]C[解析] 点P在直线y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.3．(2012·大纲全国文)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.B.C.D.[答案]C[解析]本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y＝sin是偶函数知＝＋kπ，即φ＝＋3kπ，又 φ∈[0,2π]，∴φ＝适合．本题也可用偶函数定义求解．4．(2012·北京海淀期中练习)已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．钝角三角形[答案]C[解析]由题意得，cosAcosB＝·2sin2⇒cosA·cosB＝⇒2cosA·cosB＝1＋cos(A＋B)⇒2cosA·cosB＝1＋cosA·cosB－sinA·sinB⇒cosA·cosB＋sinA·sinB＝1⇒cos(A－B)＝1⇒A－B＝0⇒A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形，故选C.5．(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为()A．2B.C．1D.[答案]C[解析]由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.(理)已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则sinα＝()A.B.C．－D．－[答案]A[解析] ，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝； －<β<0，且sinβ＝－，∴cosβ＝.从而sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.6．(文)设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为()A.B．－C．－D.[答案]C[解析] <θ<3π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－. <<，∴sin<0，又cosθ＝1－2sin2，∴sin2＝＝，∴sin＝－.(理)已知tan＝3，则cosα＝()A.B．－C.D．－[答案]B[解析]cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－，故选B.7．(文)在△ABC中，acos2＋ccos2＝b，则()A．a，b，c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列[答案]A[解析] acos2＋ccos2＝b，∴a·＋c·＝b，∴(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝3b， acosC＋ccosA＝b，∴a＋c＝2b，∴a、b、c依次成等差数列．(理)(2012·河南六市联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝4sin(x＋)B．f(x)＝2sin(x＋)C．f(x)＝2sin(x＋)D．f(x)＝4sin(x＋)[答案]A[解析]f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，由图象知，＝2×(－(－))，∴ω＝，又Aω＝2，∴A＝4，∴f′(x)＝2cos(x＋φ)，由f′(x)的图象过点(，0)得，cos(＋φ)＝0， 0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝4sin(x＋)，故选A.8．已知sinα＝，cosβ＝，其中α，β∈(0，)，则α＋β＝________.[答案][解析] α，β∈(0，)，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0， α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.9．已知：sinα＋cosα＝，π<α<2π，则cos＝________.[答案]－[解析] ∴∴cos＝－＝－.10．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tan＋tan＋tan·tan的值是________．[答案][解析] A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝，∴tan＋tan＋tan·tan＝tan＋tantan＝.能力拓展提升11.的值为()A.B.C．2D．4[答案]C[解析]原式＝＝＝＝2.12...
