（浙江专版）高考数学二轮专题复习 知能专练（八）平面向量-人教版高三全册数学试题VIP免费

知能专练（八）平面向量一、选择题1．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c,b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：选B由题意可知解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.2．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使BD＝2DA，那么CD·CA等于()A．3B．4C．5D．6解析：选D如图，CD＝CB＋BD.又 BD＝2DA，∴CD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)，即CD＝CA＋CB. ∠C＝，∴CA·CB＝0，∴CD·CA＝·CA＝CA2＋CB·CA＝6.3．(2017·长春模拟)如图，点A，B在圆C上，则AB·AC的值()A．只与圆C的半径有关B．只与弦AB的长度有关C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值解析：选B延长AC与圆C相交于点D，连接DB，则∠ABD＝90°，所以AB·AC＝AB·AD＝|AB|·|AD|cosA＝|AB|2，只与弦AB的长度有关．4．(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝2，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A．2B．1C.D.解析：选D如图，直线l为与a＋b平行的直线，c可平移到以a的终点为起点，则c的终点在直线l上，由三角形法则可知，当a＋c与直线l垂直时，|a＋c|取到最小值.5．(2017·绍兴模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝()A.B.C.D.解析：选C如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0,1)，D(，0)，由题意得CE＝(1－λ)·CB＝(λ－，λ－1)，CF＝(1－μ)CD＝(－μ，μ－1)．因为CE·CF＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝.因为AE＝AC＋CE＝(λ－，λ＋1)，AF＝AC＋CF＝(－μ，μ＋1)，1又AE·AF＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由整理得λ＋μ＝.6．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1解析：选B如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA＝(－x,－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－.二、填空题7．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，AG＝mAB＋AC，则|AG|的最小值为________，又若AG⊥BC，则m＝________.解析：因为AG＝mAB＋AC，所以|AG|2＝m2|AB|2＋|AC|2＋2mAB·AC＝9m2＋4＋2m|AB|·|AC|·cos60°＝9m2＋6m＋4＝92＋3.当m＝－时，|AG|2取得最小值为3，所以|AG|的最小值为.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，所以|BC|2＝4＋9－2×2×3cos60°＝7，所以|BC|＝，所以cosB＝＝，cosC＝＝.因为AG⊥BC，所以AG·BC＝0，所以(mAB＋AC)·BC＝0，所以mAB·BC＋AC·BC＝0，所以m|AB|·|BC|cos(π－B)＋|AC|·|BC|cosC＝0，所以－3mcosB＋2cosC＝0，所以m＝＝××＝.答案：8．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则AE·AF的最大值为________．解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则E.设F(x，y)，则AE·AF＝2x＋y.令z＝2x＋y，当z＝2x＋y过点(2,1)时，AE·AF取最大值.答案：9．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析：法一：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tanα＝7，α∈，得sinα＝，cosα＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝|OC|cosα＝×＝，yC＝|OC|sinα＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin(α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝|OB|cos(α＋45°)＝－，2yB＝|OB|sin(α＋45°)＝，即B.由OC＝mOA＋nOB，可得解得所以m＋n＝＋＝3.法二：由tanα＝7，α∈，得sinα＝，cosα＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，所以OB·OC＝1××＝1，OA·OC＝1××＝，OA·OB＝1×1×＝－，由OC＝mOA...