第二课时直线与抛物线的位置关系课时跟踪检测一、选择题1.抛物线的对称轴为x轴,过焦点且垂直于对称轴的弦长为8,若抛物线顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:由题意,可得2p=8,∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C2.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦所在直线的方程是()A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0解析:设弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2, A,B在抛物线y2=8x上,∴y=8x1,y=8x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),∴k==-4.∴直线AB的方程为y+1=-4(x-1),即4x+y-3=0.答案:C3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析: 直线y=kx-k=k(x-1),恒过定点(1,0),而(1,0)在y2=2px(p>0)内,∴直线与抛物线有一个或两个公共点.答案:C4.(2019·郑州市期中)已知F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,以为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则=()A.16B.4C.D.解析:由题意,可得直线4x-3y-2p=0与x轴的交点是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,由得8x2-17px+2p2=0⇒xD=,xA=2p,|AB|=|AF|-=xA+-=2p,|CD|=|DF|-=xD+-=.∴==16.答案:A5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则抛物线的准线方程为()1A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2解析:由抛物线y2=2px,知焦点F,设直线方程为y=-.由得4x2-12px+p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,∴==3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.答案:C6.(2019·绵阳模拟)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点A的坐标为()A.(0,±2)B.(0,2)C.(0,±4)D.(0,4)解析:在△AOF中,点B为边AF的中点,故点B的横坐标为,因此=+,解得p=,故抛物线方程为y2=2x,可得点B的坐标为,故点A的坐标为(0,±2).答案:A二、填空题7.直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上,且斜边AB和y轴平行,则直角△ABC斜边上的高的长度为________.解析:由题意,斜边平行y轴,即垂直对称轴x轴,可设C的坐标为,B的坐标为,则A的坐标为;AC=,CB=.又由Rt△ABC的斜边为AB,则有AC⊥CB,即AC·CB=0,变形可得|b2-c2|=4,而斜边上的高即C到AB的距离为-=2.答案:28.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的弦的中点坐标为________.解析:由得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0,由韦达定理,得x1+x2=6,∴中点的横坐标x0==3,又 y0=x0-1=2,∴中点坐标为(3,2).答案:(3,2)9.抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则双曲线的离心率为________.解析:由抛物线的定义,知1+=5,∴p=8,∴m2=16.又m>0,∴m=4,∴M(1,4).由双曲线-y2=1,知A(-,0),渐近线方程y=±.又AM的斜率kAM=,∴=,∴=.又c==,∴e==.答案:三、解答题10.(2019·平顶山调研)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点,若∠AMB=90°,求k的值.解: 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),∴过A,B两点的直线方程为y=k(x-1),联立可得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,∴y1+y2=k(x1+x2-2)=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4. M(-1,1),∴MA=(x1+1,y1-1),MB=(x2+1,y2-1). ∠AMB=90°,∴MA·MB=0,∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0,∴1+2+-4-+2=0,即k2-4k+4=0,∴k=2.11.求过定点P(-1,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线l的方程.2解:当直线l的斜率不存在时...