天津市南开区2020届高三数学上学期期末考试试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，2}，T＝{2，3}，则（∁US）∩T等于（）A．{2}B．{3}C．{4}D．{2，3，4}2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1B．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣13．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝﹣lgx2C．y＝2xD．y4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S3+S5＞2S4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．设a＝1﹣20.2，b＝1og3，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a6．过点A（﹣1，0），斜率为k的直线，被圆（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为2，则k的值为（）A．±B．C．±D．7．函数y＝sincos（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．﹣1B．﹣1C．0D．28．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：39．四边形ABCD中，BC＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，则的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣3，1]D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。10．复数的共轭复数是．11．曲线y在点（1，1）处的切线方程为．12．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB＝2，则此球的表面积等于．13．设双曲线C经过点（2，2），且与x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．14．已知正数x，y满足3，则当x时，x+y的最小值是．15．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b，设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），若函数g（x）＝f（x）﹣mx2（m∈R）恰有三个零点x1，x2，x3，则m的取值范围是；x1x2x3的取值范围是．三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AA1＝AB＝2BC＝2，3．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣A1的余弦值；（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．18．（15分）已知椭圆C的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+20的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与直线y＝kx+m相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．（i）当k＞0，m≠0时，射线OE交直线x＝﹣3于点D（﹣3，n）（O为坐标原点），求k2+n2的最小值；（i）当k≠0，且|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．19．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1＝3，b2＝a2，b5＝a3+3，b8＝a4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）令cn＝log2，证明：1（n∈N*，n≥2）；（Ⅲ）求（n∈N*）．20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤x2对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝1时，设g（x）＝xe﹣f（x）﹣x﹣1（e为自然对数的底）．若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2＝1，x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：g（λ1x1+λ2x2）＜λ1g（x1）+λ2g（x2）．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．A3．A4．C5．A6．A7．D8．C9．C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。10．﹣i．11．x+y﹣2＝012．24π．13．，y＝±2x．14．，9．15．（0，）和（）．三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，∴sinA， △ABC的面积为bc•sinA•bc＝2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a3．再根据正弦定理可得，即，∴sinC．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，故cos（2A）＝...
