重难增分训练（一）函数与导数的综合问题1．已知m，n∈(2，e)，且－＜ln，则()A．m＞nB．m＜nC．m＞2＋D．m，n的大小关系不确定解析：选A由不等式可得－＜lnm－lnn，即＋lnn＜＋lnm．设f(x)＝＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－＋＝
因为x∈(2，e)，所以f′(x)＞0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)＜f(m)，所以n＜m
2．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为________．解析：因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于x＝0对称，所以f(x)的图象关于x＝2对称．所以f(0)＝f(4)＝1
设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝
又f′(x)＜f(x)，所以g′(x)＜0(x∈R)，所以函数g(x)在定义域上单调递减．因为f(x)＜ex⇔＜1，而g(0)＝＝1，所以f(x)＜ex⇔g(x)＜g(0)，所以x＞0
答案：(0，＋∞)3．(2017·广东汕头模拟)已知函数f(x)＝x＋xlnx，若m∈Z，且f(x)－m(x－1)>0对任意的x>1恒成立，则m的最大值为________．解析：因为f(x)＝x＋xlnx，且f(x)－m(x－1)>0对任意的x>1恒成立，等价于m1)，所以g′(x)＝
易知g′(x)＝0必有实根，设为x0(x0－2－lnx0＝0)，且g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，此时g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，因此m
