高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法达标训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.1数学归纳法更上一层楼基础·巩固1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=aan112(n∈N,a≠1)，在验证n=1成立时，左边所得的项为（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3思路分析：如果不注意左边的最后一项an+1的指数，就会错误地选择A.答案：C2.某个命题与正整数n有关，如果当n=k(k∈N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立思路分析：当n=k时,左边是(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左边应是(k+1)(k+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1),∴应增添的因式是1)22)(12(kkk=2(2k+1).答案：D3.用数学归纳法证明1-21+31-41+…+nn21121=nnn212111时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A.1212111kkkB.2211212111kkkkC.1212121kkkD.22112121kkk思路分析：把右边的n全部换成k+1，就是应该得到的形式.答案：D4.用数学归纳法证明“当n为奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第二步的归纳假设应写成（）A.假设n=2k+1(k∈N)时正确，再推证n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N)时正确，再推证n=2k+1时正确C.假设n=k(k∈N)时正确，再推证n=k+1时正确D.假设n≤k(k≥1)时正确，再推证n=k+2时正确思路分析：如果n=2k+1(k∈N)，则k=1时，第一个奇数就不是1而是3，明显错误.如果n=2k-1(k∈N)，那么k=1时，第一个奇数就是1，再推证就应该是n=2（k+1）-1=2k+1.答案：B5.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-21+31-41+…+11n=2(nnn214121)时，1若已假设n=k(k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立思路分析：因为已假设n=k(k≥2为偶数）时命题为真，接下来应该证明n=2（2k+1）成立，即n=k+2，而n=k+1为奇数，n=2k+2和n=2(k+2)均不满足递推关系，所以只有n=k+2满足条件.答案：B6.凸k边形内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+________思路分析：f(k+1)=（k+1-2）·π.答案：π7.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+_________.思路分析：我们不妨大胆尝试考虑k=1时，f(1)=2，k=2时，f（2）=4，k=3时，f（3）=7，说明了f（k+1）在f（k）的基础上又增加了k+1个区域.答案：k+1综合·应用8.用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222nnnnnn.思路分析：在由假设n=k成立时，再推证n=k+1时，左边应添加)32)(12()1(2kkk.证明：当n=k+1时，左边=k)32(2)2)(1()32)(12()1()12(2)1(2kkkkkkkkk.9.用数学归纳法证明：（1）72n-42n-297能被264整除；（2）an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除（其中n，a为正整数）思路分析：（1）当n=k+1时，左边应该想办法分别提取公因数49和264.（2）n=k+1时，要通过凑项配形的方法来达到提取公因式的目的.证明：(1)当n=k+1时，72(k+1)-42(k+1)-297=49×(72k-42k-297)+33×42k+48×297=49×(72k-42k-297)+33×8×(24k-3+48×9)=49×(72k-42k-297)+264×(24k-3+48×9).能被264整除，命题正确.(2)n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2［ak+1+(a+1)2k-1］+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+12)［ak+1+(a+1)2k-1］-ak+1(a2+a+1).能被a2+a+1整除.10.求证：1-21+31-41+…+nnnnn21211121121.思路分析：在第（Ⅱ）步的证明中，必须清楚n=k时，n=k+1时所列等式的左右两边分别如何表达，并能正确使用归纳假设，尤其是代数变形能力（如因式分解、通分等）的运用要熟练.2证明：（Ⅰ）当n=1时，左式=1-21=21，右式=111=21.左式=右式.∴当n=1时，命题成立.（Ⅱ）假设当n=k(≥1)时，命题成立，即1-21+31-41+…+kk21121=kkk212111.则当n=k+1时,左式=1-21+31-41+…+22112121121kkkk=(kkk212111)+221121kk=)22111(121213121kkkkkk=22112...