课后提升训练十六离散型随机变量的方差(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.随机变量X的分布列为X012Pab若E(X)=1,则D(X)=()A.B.1C.D.【解析】选C.由题意得+a+b=1,①0×+1×a+2b=1,②由①②两式解得:a=b=.所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=+=.2.已知X的分布列为X1234P则D(X)的值为()A.B.C.D.【解析】选C.E(X)=1×+2×+3×+4×=,1D(X)=×+×+×+×=.3.设X的分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)=()A.10B.30C.15D.5【解析】选A.由X的分布列知X～B,所以D(X)=5××=,所以D(3X)=9D(X)=10.4.(2017·宝鸡高二检测)同时抛两枚均匀硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为X,则D(X)等于()A.B.C.D.5【解析】选A.由题意知X～B,所以D(X)=10××=.5.(2017·青岛高二检测)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.,s2+1002B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2【解析】选D.设下月起每位员工的月工资增加100元后的均值和方差分别为,s'2,则==+100.2方差s'2=×[(x1+100--100)2+(x2+100--100)2+…+(x10+100--100)2]=s2.6.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的件数,则D(X)等于()A.B.C.D.【解析】选D.X的所有可能取值是0,1,2.而P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为X012P于是E(X)=0×+1×+2×=,所以D(X)=×+×+×=.7.甲、乙两台自动车床各生产同种标准产品1000件,ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,ξ,η的分布列分别如表一、表二所示.表一ξ0123P0.700.20.1表二3η0123P0.60.20.10.1据此判定()A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定【解题指南】分别计算随机变量ξ与η的均值与方差,一般来说均值越小,方差也小的质量好.【解析】选B.由分布列可求甲的次品数均值为E(ξ)=0.7,乙的次品数均值为E(η)=0.7,进而得D(ξ)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,D(η)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,故乙的质量要比甲好.8.(2017·唐山高二检测)已知X的分布列为X-101P则①E(X)=-,②D(X)=,③P(X=0)=,其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据分布列知,P(X=0)=,E(X)=(-1)×+1×=-,所以D(X)=×+×+×=.只有①③正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.若随机变量X～B,则E(X)=________,D(X)=________.又Y=2X+1,则E(Y)=________,D(Y)=________.4【解析】易知E(X)=,D(X)=.所以E(Y)=2E(X)+1=,D(Y)=4D(X)=.答案:【补偿训练】(2017·东莞高二检测)如果随机变量ξ～B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,则p等于________.【解析】因为随机变量ξ～B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,所以所以7(1-p)=6,1-p=,解得p=.答案:10.抛掷两枚骰子,当至少有一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在30次试验中成功次数X的方差D(X)=________.【解析】利用古典概型计算概率的公式计算1次试验成功的概率P==,在30次试验中成功次数X服从二项分布,即X～B,所以D(X)=30××=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)511.有10张卡片,其编号分别为1,2,3,…,10,从中任意抽取3张,记号码为3的倍数的卡片张数为X,求X的均值、方差、标准差.【解析】X的可能值为0,1,2,3,所以P(X=0)==;P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==.故X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×=;方差为D(X)=×+×+×+×=;标准差为==.12.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列.(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.【解析】(1)依据题意0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为6ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中ξ,η的分布列可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),E(η)=10×0.3+9×0....
