高三数学(理科)三诊答案第1页(共4页)南充市高2019届第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题:1.C2.A3.C4.D5.B6.C7.D8.C9.A10.D11.A12.B二、填空题:13．-414．13或115．n+116．1074三、解答题:17．解:(1)因为cos∠ADB=-210,所以sin∠ADB=1-(-210)2=7210.因为∠CAD=π4,所以∠C=∠ADB-π4…………3分所以sinC=sin(∠ADB-π4)=sin∠ADB·cosπ4-cos∠ADB·sinπ4=7210×22+210×22=45…………6分(2)在△ACD中,由ADsinC=ACsin∠ADC,得AD=AC·sinCsin∠ADC=72×457210=22…………9分在△ABD中,由余弦定理可得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=52+(22)2-2×5×22×(-210)=37所以AB=37…………12分18．解:(1)优秀合格总计男生62228女生141832合计204060…………4分(2)由于K2=60(6×18-22×14)240×20×32×28=3．348>2．706因此在犯错误的概率不超过0．10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.…………8分(3)由(2)可知性别有可能对是否优秀有影响,所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定高三数学(理科)三诊答案第2页(共4页)的学生,这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.…………12分19.(1)证明:因为AC=BC,D为BC中点,所以CD⊥AB,又CD⊥DA1,AB∩A1D=D,…………2分所以CD⊥平面AA1B1B,又BB1⊂平面AA1B1B,所以CD⊥B1B,又B1B⊥AB,AB∩CD=D,所以B1B⊥平面ABC.…………5分(2)由已知及(1)可知CB,CC1,CA两两垂直,所以以C为坐标原点,以CB为x轴,CC1为y轴,CA为z建立空间直角坐标系,设CC1=2,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C1(0,2,0),A1(0,2,2),D(1,0,1).…………7分设平面DCA1的法向量n1→=(x1,y1,z1),则n1→·CD→=0,n1→·CA1→=0{,即x1+z1=0,2y1+2z1=0,{令z1=-1,则n1→=(1,1,-1);…………9分设平面DC1A1的法向量n2→=(x2,y2,z2),则n2→·C1D→=0,n2→·C1A1→=0,{即x2-2y2+z2=0,2z2=0,{,令y2=1,则n2→=(2,1,0)…………11分所以cos=n1→·n1→|n1→||n2→|=33×5=155.故锐二面角C-DA1-C1的余弦值为155.…………12分20.解:(1)因为当x≥0时,f(x)=ex+ax>0恒成立,所以,若x=0,a为任意实数,f(x)=ex+ax>0恒成立.…………2分若x>0,f(x)=ex+ax>0恒成立,即当x>0时,a>-exx,设H(x)=-exx,H′(x)=-exx-exx2=(1-x)exx2,…………4分当x∈(0,1)时,H′(x)>0,则H(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,H′(x)<0,则H(x)在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,H(x)取得最大值.H(x)max=H(1)=-e,所以,要使x≥0时,f(x)>0恒成立,a的取值范围为(-e,+∞).…………6分(2)由题意,曲线C为:y=exlnx-ex+x.令M(x)=exlnx-ex+x所以M′(x)=exx+exlnx-ex+1=(1x+lnx-1)ex+1…………8分高三数学(理科)三诊答案第3页(共4页)设h(x)=1x+lnx-1,则h′(x)=-1x2+1x=x-1x2当x∈[1,e]时,h′(x)≥0故h(x)在[1,e]上为增函数,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值h(1)=ln1=0,所以h(x)=1x+lnx-1≥0,当x0∈[1,e]时,ex0>0,1x0+lnx0-1≥0,所以M′(x0)=(1x0+lnx0-1)ex0+1>0,…………10分曲线y=exlnx-ex+x在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)=0在x∈[1,e]上有实数解.而M′(x0)>0,即方程M′(x0)=0无实数解.故不存在实数x0∈[1,e],使曲线y=M(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直.…………12分21.解:(1)由题意知直线l的斜率存在,设l:y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2),由l与圆O相切,得|b|k2+1=1,所以b2=k2+1,由y=kx+b,y=x2-2,{消去y得x2-kx-b-2=0.所以x1+x2=k,x1x2=-b-2.…………2分由OM⊥ON,得OM→·ON→=0,即x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,所以(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,所以b2(-b-2)+(b2-1)b+b2=0,解得b=-1或b=0(舍).所以k=0,故直线l的方程为y=-1.…………5分(2)设Q(x3,y3),R(x4,y4),则kRQ=y3-y4x3-x4=(x23-2)-(x24-2)x3-x4=x3+x4所以x3+x4=-3.设PQ:y-y0=k1(x-x0),由直线与圆O相切,得|y0-k1x0|k21+1=1,即(x20-1)k21-2x0y0k1+y20-1=0,设PR:y-y0=k2(x-x0),同理可得(x20-1)k22-2x0y0k2+y20-1=0.由题意可得x20≠1,高三数学(理科)三诊答案第4页(共4页)故k1,k2是方程(x20-1)k2-2x0y0k+y20-1=0的两个根,所以k1+k2=2x0y0x20-1…………8分由y=k1x+y0-k1x0,y=x2-2{得x2-k1x+k1x0-y0-2=0,故x0+x3=k1,同理可得x0+x4=k2,则2x0+x3+...
