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高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

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1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关·能力提升基础巩固1.函数f(x)=cosπ6的导数是()A.0B.12C.−12D.不确定解析:∵f(x)=cosπ6=√32,∴f'(x)=0.答案:A2.已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()A.4B.-4C.5D.-5解析:∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.又f'(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案:A3.已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析:∵f'(x)=3x2,∴令3x2=9,得x=±√3.∴切点的坐标为(√3,3√3)和¿-3√3¿.故满足条件的点有两个.答案:B4.y=cosx在x¿π6处的切线的斜率为()A.√32B.−√32C.−12D.12解析:∵y'=(cosx)'=-sinx,1∴y'|x=π6=−sinπ6=−12.答案:C5.曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.解析:∵y'=(lnx)'¿1x,∴y'|x=e=1e.∴切线方程为y-1=1e¿x-e),即x-ey=0.答案:1ex-ey=06.若f(x)=x2,g(x¿=1x,则f'[g'(2)]=.解析:因为f'(x)=2x,g'(x)=−1x2,所以f'[g'(2)]=f'(-14)=−12.答案:−127.若函数f(x)=logax,f'(1)=-1,则a=.解析:∵f'(x¿=1xlna,∴f'(1¿=1lna=−1.∴lna=-1.∴a¿1e.答案:1e8.曲线y=sinx在点(π3,√32)处的切线方程为¿.解析:因为y'=(sinx)'=cosx,所以y'|x=π3=12.所以切线方程为y−√32=12(x-π3),2即x-2y+√3−π3=0.答案:x-2y+√3−π3=09.求下列函数的导数:(1)y¿1x4;¿2)y=log4x;(3)y¿5√x4.解:(1)y'¿(1x4)'=¿x-4)'=-4x-5=−4x5.(2)y'=(log4x)'¿1xln4.(3)y'=(5√x4)'=(x45)'¿45x-15.10.若质点P的运动方程是s¿3√t2¿s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8s时的瞬时速度.分析:根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8s时的导数.解:∵s'=(3√t2)'=(t23)'¿23t-13,∴s'|t=8=23×8-13=23×2-1=13.故质点P在t=8s时的瞬时速度为13m/s.能力提升1.下列结论正确的个数为()①若y=ln2,则y'¿12;②若y¿1x2,则y'|x=3=−227;③若y=2x,则y'=2xln2;④若y=log2x,则y'¿1xln2.A.0B.1C.2D.3解析:①y=ln2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用求导公式即可验证.答案:D32.曲线y=ex在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e2B.2e2C.e2D.e22解析:因为y'=ex,所以y'|x=2=e2.所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1.所以所围成的三角形的面积S¿12×1×|-e2|¿e22.答案:D3.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3解析:∵(lnx)'¿1x>0,¿ex)'=ex>0,(x3)'=3x2≥0,∴选项B,C,D中的曲线上不存在两点,其切线的斜率之积为-1,只有A项符合.答案:A4.正弦曲线y=sinx(x∈(0,2π))上切线的斜率等于12的切点坐标为¿.解析:设切点坐标为(x0,y0)(x0∈(0,2π)),则由题意可得cosx0=12,所以x0=π3,y0=√32或x0=5π3,y0=−√32.故切点坐标为(π3,√32)或(5π3,-√32).4答案:(π3,√32)或(5π3,-√32)5.已知P,Q为抛物线y=x2上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析:由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线y=x2上,∴{42=y1,(-2)2=y2.①②∴{y1=16,y2=4,即P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为y=x2,∴y'=2x.∴过点P的切线的斜率为y'|x=4=8.∴过点P的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.又过点Q的切线斜率为y'|x=-2=-4,∴过点Q的切线方程为y-4=-4(x+2),即y=-4x-4.联立{y=8x-16,y=-4x-4,得{x=1,y=-8.故点A的纵坐标为-8.答案:-86.★设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,若an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为.解析:曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线斜率k=y'|x=1=(n+1)×1n=n+1,5则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得xn¿nn+1.∴an=lgnn+1.∴a1+a2+…+a99=lg12+lg23+…+lg99100=lg(12×23×…×99100)=lg1100=−2.答案:-27.★已知直线y=kx是曲线y=lnx的一条切线,试求k的值.解:设直线y=kx与曲线y=lnx相切时的切点坐标为(x0,y0).∵y=lnx,∴y'¿1x,∴y'|x=x0=1x0=k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,∴{y0=kx0,y0=lnx0.①②把k¿1x0代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式得x0=e.∴k¿1x0=1e.67

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