第二章2.22.2.2请同学们认真完成练案[6]A级基础巩固一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(C)A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角[解析]“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．2．如果两个数之和为正数，则这两个数(D)A．一个是正数，一个是负数B．都是正数C．不可能有负数D．至少有一个是正数[解析]两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为(D)A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(B)A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C．＋＋≥2D．abc(a＋b＋c)≤[解析] a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3．5．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是(A)A．假设a，b，c都是奇数B．假设a，b，c至少有两个是奇数C．假设a，b，c至多有一个是奇数D．假设a，b，c不都是奇数[解析]由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选A．6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(C)A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．二、填空题7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于____．[解析]假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1，故a、b、c中至少有一个数不小于．8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是__异面__．[解析]假设AC与BD共面于平面α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．三、解答题9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．[解析]假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b．而b2＝ac，即b＝，则有a＋c＋2＝4．即(－)2＝0．所以＝，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．B级素养提升一、选择题1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P＜0，Q＜0，R>0，即a＋b＜c，b＋c＜a，两式相加得b＜0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0．3．(多选题)下列命题适合用反证法证明的是(ABD)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1[解析]A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一...
