第3课时圆的切线的性质及判定定理素质训练1．如图所示，已知I是△ABC的内心，∠B＝80°，则∠AIC等于()A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】C【解析】∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－50°＝130°.故选C．2.如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝()A．2∶1B．1∶1C．1∶2D．4∶3【答案】A【解析】连接DO，CO.∵AC是切线，D是切点，∴OD⊥AC．又∵BC是切线，B是切点，∴AB⊥BC．OD＝OB，OC为公共边，∴Rt△CDO≌Rt△CBO.∴CD＝CB．又△ADO∽△ABC，∴＝＝＝，∴＝.故选A．3．如图所示，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，切线AP的长为2，则圆O的直径长等于()A．2B．3C．4D．3【答案】C【解析】∵AP是切线，∴∠APO＝90°.1∵∠M＝30°，∴∠AOP＝60°.∴OP＝＝2.∴直径为4.故选C．4．(2016年郴州模拟)如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于点B，圆O的半径为2，PB＝3，则PA的长为______．【答案】【解析】由题可知PO＝PB＋BO，BO为圆O半径，所以PO＝5，PA是圆O的切线，所以∠OAP＝90°，PA＝＝＝.5．(2015年汕头一模)如图，O是半圆的圆心，直径AB＝2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC＝4，则PB＝________.【答案】2【解析】连接BC，则∠ACB＝90°，∠ABP＝90°，∴BC＝＝2.△ABC∽△APB，∴＝，∴PB＝＝2.6．(2015年永州三模)如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC＝1，∠BAP＝120°，则圆O的面积为________．【答案】π【解析】∵PA是圆O的切线，∴OA⊥AP.又∵∠PAB＝120°，∴∠BAO＝∠ABO＝30°.又∵在Rt△ABC中，AC＝1，∴BC＝2，即圆O的直径2R＝2.∴圆O的面积S＝πR2＝π.7．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．【证明】如图所示，连接OD．2∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵OA＝OD，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠4.又∵OC＝OC，OB＝OD，∴△CDO≌△CBO.∴∠CDO＝∠CBO.∵BC是⊙O的切线，∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴DC是⊙O的切线．8．如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于D，求证：AC与⊙O相切．【证明】如图所示，连接OD，AO，过O作AC的垂线交AC于E.∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB．∵△ABC为等腰三角形，∴∠BAO＝∠CAO.∴Rt△ADO≌Rt△AEO.∴OD＝OE.∴点E在圆上．∴AC与圆相切．能力提升9.如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为()A．2πB．4πC．4D．2【答案】D3【解析】滚动到⊙O与CA也相切时，如图所示，O′N⊥AC，O′M⊥BC，N，M分别为切点，且O′N＝O′M，∴∠O′CM＝∠ACB＝30°.∴O′C＝2O′M＝4，CM＝2.∴OO′＝CM＝2.故选D．4
