第一章导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝，则y′＝－C．若y＝，则y′＝D．若y＝x，则y′＝1解析：对于A，常数的导数为零，故A正确；对于B，y′＝′＝－x－＝－，故B错误；对于C，y′＝′＝x－＝，故C正确；对于D，y′＝x′＝1，故D正确．答案：B2．过曲线y＝上的点(4,2)的切线方程是()A．x＋4y＋4＝0B．x－4y－4＝0C．x－4y＋4＝0D．x＋4y－4＝0解析：∵y′＝()′＝，∴y′|x＝4＝＝，∴切线的斜率k＝，∴所求的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.故选C.答案：C3．已知f(x)＝xn，若f′(－1)＝－4，则n的值为()A．4B．－4C．5D．－5解析：f′(x)＝nxn－1，f′(－1)＝n×(－1)n－1＝－4，∴n＝4.答案：A4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A．e2B．2e2C．e2D．解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S＝×1×e2＝.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为__________.解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.1因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.答案：1或－6．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1.∴lna＝－1.∴a＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数．(1)y＝lg5；(2)y＝x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1.解析：(1)y′＝(lg5)′＝0.(2)y′＝′＝xln.(3)∵y＝＝x2－＝x，∴y′＝(x)′＝x.(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.8．已知曲线y＝.求：(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝，得y′|x＝x0＝.∵切线与y＝2x－4平行，∴＝2，∴x0＝，∴y0＝.则所求切线方程为y－＝2，即16x－8y＋1＝0.(2)∵点P(0,1)不在曲线y＝上，故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为.又∵切线斜率为，∴＝＝，∴2t－2＝t，得t＝4或t＝0(舍去)，∴切点为M(4,2)，斜率为，∴切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.☆☆☆9．(10分)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．2则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.3
