初三数学解直角三角形一.本周教学内容：解直角三角形二.重点难点：（一）锐角三角函数1.锐角三角函数的定义如图1，在中，为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作；把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作；把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作；把锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作。图1即；2.互余角的三角函数间的关系3.同角三角函数间的关系4.三角函数值（1）特殊角的三角函数值（2）用计算器求的任意角的三角函数值。（3）锐角三角函数值的性质：①锐角三角函数值都是正数，并且当时，，。②当角度在间变化时：正弦、正切随角度增大而增大，减小而减小；余弦、余切随角度增大而减小，减小而增大。（二）解直角三角形1.解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。2.解直角三角形相关的知识如图2，在中，，图2（1）三边之间的关系：。（2）锐角之间的关系：。（3）边与角之间的关系：，。（4）如图3，若直角三角形ABC中，斜边上的高于点D，设，，则。图3（5）如图4，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①；②点D是的外心，外接圆半径。图4（6）如图5，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则。图5（7）直角三角形的面积①如图3，。②如图5，。3.直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型4.测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角等。【典型例题】例1.如图6，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.46米，测得斜坡的倾斜角是，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？（精确到1米，用计算器求值）图6分析：此问题归结为中，米，求AB的长。米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是6米。例2.已知：如图7，在菱形ABCD中，于点E，，求四边形ABCD的面积S。图7分析：在中，，已知，就相当于给了的对边AE与斜边BA的比是5：13。解：在中，，设由勾股定理得，即。例3.如图8，在中，，求AB和BC的长。图8分析：由已知条件和三角形内角和定理，可知；过点C作，则是可解三角形，可求出CD的长，从而可解，由此得解。略解：过点C作于D想一想，若例3改为：①中，，如何求AB和BC的长？②已知中，，，，如何求BC边及的面积？例4.如图9，已知在中，，求的四个三角函数值。图9解：在中，例5.如图10，已知在中，。求。图10解法1：在中，设由勾股定理，可得解法2：在中，，，；又小结：已知一个角的某个三角函数值，求同角的其它三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义（根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长）或同角的三角函数之间的关系。例6.解答下列各题：（1）化简求值；（2）若（为锐角），求的值；（3）在中，，化简。解：（1）（2）（3）小结：由第（3）题可得到今后常用的一个关系式：例如，若设，则。例7.如图11，在中，，，求的值。图11分析：为求，需将分别置于直角三角形之中，另外已知的邻补角是，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中。所以应分别过点B、C向CA、BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。解：过点B作的延长线于点D，过点C作的延长线于点E。；。又，由勾股定理，同理可求得例8.如图12，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为。求大桥AB的长（精确到1米）。图12解：依题意，（米）答：大桥的长度约为120米。说明：如图12，一般地，。例9.如图13，某船向正东航行。在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）图13解：作，垂足为E。设海里。在中，，即。解得（海里）。答：A、D两处间的距离为海里。例10.某型号飞机的机翼形状如图14所示，AB//CD，根据图中数据计算AC，BD和CD的长度（精确到0.1米，）。图14解：如图15所示，过C作交BA延长线于E，过B作，交CD延长线于F。图15在中，（）在中，答：AC约为7.1米，BD约为5.8米，CD约为3.4米。例11.如图16，，，求四边形ABDC的面积。图16分析：只需分别求出和的面...
