热点探究训练(六)概率中的高考热点问题1．(2017·温州质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【导学号：51062381】[解](1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝××＝.6分(2)由题意可得，ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(ξ＝2k)＝Ck·4－k(k＝0,1,2,3,4)．即ξ的分布列是ξ02468P12分所以ξ的期望是E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.15分2．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．[解]设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.2分(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.6分(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，10分因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.15分3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望.【导学号：51062382】[解](1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，1A2表示事件“第3局结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.6分(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝，则P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝.11分∴X的分布列为X012P13分∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.15分4．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(00，P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝>0，P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝>0，又0
