高考数学大二轮复习 专题五 空间几何 5.3 空间向量与立体几何练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

5.3空间向量与立体几何【课时作业】A级1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B．C.D．解析：如图，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝4×2×＝12＝5×2×cosθ(θ为AD与EB的夹角)，所以cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的正切值为.答案：D2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为()A.B．C.D．解析：如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BF＝CF＝2，∴PF⊥BC，又EB＝EC，∴EP⊥BC，∴∠EPF为二面角EBCF的平面角，而FP＝＝，在△EPF中，cos∠EPF＝＝＝.答案：B3．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意得AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，－6)，AB·AC＝(6，－2，－3)·(x－4,3，－6)＝6(x－4)－6＋18＝0，解之得x＝2.答案：24．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积V球＝，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________．解析：如图，过点O作OM⊥平面ABCD，垂足为点M，则点M为正方形ABCD的中心． 正方形ABCD的边长为2，∴AC＝2，∴AM＝. V球＝πr3＝，∴球O的半径OA＝r＝2，∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM＝＝＝.答案：5．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．解析：(1)因为由题意知四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.在菱形ABCD中，∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.故建立如图所示，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AA1为z轴的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(，0,0)，F.AD＝(0,2,0)，EF＝，cos〈AD，EF〉＝＝＝，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．则M(0,2λ，2－2λ)，CM＝(－，2λ－1,2－2λ)．设平面AEF的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为AE＝(，0,0)，AF＝.由得x0＝0，y0＋z0＝0，取y0＝2，则z0＝－1，则平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．由于CM∥平面AEF，则n·CM＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.6．(2018·洛阳市第一次统考)如图，在四棱锥PABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．解析：(1)证明：由题意知，PA＝PD＝AD，F为PD的中点，可得AF⊥PD， 平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD.(2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，OG， PA＝PD＝AD，∴OP⊥AD. 平面PAD⊥平面ABCD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.分别以OA，OG，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A(1,0,0)，C(－1,2,0)，E，F，AF＝，FE＝(0,1,0)．设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，则即可取m＝(1,0，)，为平面AEF的一个法向量．同理，可得平面ACE的一个法向量为n＝(，，1)．cos〈m，n〉＝＝＝.∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.B级1．(2018·北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．解析：(1)证明： AB＝BC，且E是AC的中点，∴AC⊥BE. 在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1. CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC， EF，BE⊂平面BEF，EF∩BE＝E，∴AC⊥平面BEF.(2)由(1)知，...