高中数学 第三章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课后巩固提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP免费

1.2函数的极值[A组基础巩固]1．函数y＝x3－3x＋2的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0B．1C．2D．4解析：令y′＝3x2－3＝0⇒x＝1或x＝－1，经分析知f(－1)为函数y＝x3－3x＋2的极大值，f(1)为函数y＝x3－3x＋2的极小值，故m＋n＝f(－1)＋f(1)＝4.答案：D2.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c解析：由f′(x)的图像可知x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；x∈(0,2)时，f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数．∴x＝0时，f(x)取到极小值为f(0)＝c.答案：D3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则()A．0＜b＜1B．b＜0C．b＞0D．b＜解析：f′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0＜＜1，∴0＜b＜1.答案：A4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图像的一部分如图所示，则正确的是()A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)解析：由题图可知，当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)＞0，即f′(x)＜0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)＜0，即f′(x)＞0；当x∈(0,3)时，xf′(x)＞0，即f′(x)＞0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)＜0，即f′(x)＜0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．答案：D15．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．答案：36．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.利用极值的求法可求得x＝0是极大值点，x＝2是极小值点．答案：③④7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________.解析：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意，f′(－1)＝3－6m＋n＝0，f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0，解得或但m＝1，n＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，此时x＝－1不是f(x)的极值点，应舍去．经检验m＝2，n＝9符合题意．答案：298．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b、c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值．解析：(1) f′(x)＝3x2＋2bx＋c，从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.又 g(x)是R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即(－x)3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x＋c，化简得(b－3)x2－c＝0，∴b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，∴g′(x)＝3x2－6＝3(x＋)(x－)．由此可知x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)4－4由表可知g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)，且g(x)在x＝－处取得极大值4，在x＝处取得极小值－4.9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解析：(1) f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴解得a＝－，b＝－.∴f(x)＝－lnx－x2＋x.2(2)f′(x)＝－x－1－x＋1，且原函数定义域为(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．[B组能力提升]1．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D．a<－解析：y′＝aeax＋3，令y′＝0得x＝，即为极值点．由>0得a<－3.答案：B2．已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|10，所以y′＝0有两个相异实根，故函...