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高中数学 第三章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课后巩固提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP免费

高中数学 第三章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课后巩固提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题_第1页
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1.2函数的极值[A组基础巩固]1.函数y=x3-3x+2的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A.0B.1C.2D.4解析:令y′=3x2-3=0⇒x=1或x=-1,经分析知f(-1)为函数y=x3-3x+2的极大值,f(1)为函数y=x3-3x+2的极小值,故m+n=f(-1)+f(1)=4.答案:D2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图像如图所示,则函数f(x)的极小值是()A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析:由f′(x)的图像可知x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f′(x)<0;x∈(0,2)时,f′(x)>0.∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为减函数,在(0,2)上为增函数.∴x=0时,f(x)取到极小值为f(0)=c.答案:D3.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极值,则()A.0<b<1B.b<0C.b>0D.b<解析:f′(x)=3x2-3b.因f(x)在(0,1)内有极值,所以f′(x)=0有解,∴x=±,∴0<<1,∴0<b<1.答案:A4.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=xf′(x)的图像的一部分如图所示,则正确的是()A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-)B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f()C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)解析:由题图可知,当x∈(-∞,-3)时,xf′(x)>0,即f′(x)<0;当x∈(-3,0)时,xf′(x)<0,即f′(x)>0;当x∈(0,3)时,xf′(x)>0,即f′(x)>0;当x∈(3,+∞)时,xf′(x)<0,即f′(x)<0.故函数f(x)在x=-3处取得极小值,在x=3处取得极大值.答案:D15.若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=________.解析:f′(x)==,由题意得f′(1)==0,解得a=3.经检验,a=3符合题意.答案:36.关于函数f(x)=x3-3x2有下列命题,其中正确命题的序号是________.①f(x)是增函数;②f(x)是减函数,无极值;③f(x)的增区间是(-∞,0)和(2,+∞),减区间为(0,2);④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.解析:f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,则x=0或x=2.利用极值的求法可求得x=0是极大值点,x=2是极小值点.答案:③④7.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m=________,n=________.解析:f′(x)=3x2+6mx+n,由题意,f′(-1)=3-6m+n=0,f(-1)=-1+3m-n+m2=0,解得或但m=1,n=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,此时x=-1不是f(x)的极值点,应舍去.经检验m=2,n=9符合题意.答案:298.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.(1)求b、c的值;(2)求g(x)的单调区间与极值.解析:(1) f′(x)=3x2+2bx+c,从而g(x)=f(x)-f′(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.又 g(x)是R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),即(-x)3+(b-3)x2-(c-2b)x-c=-x3-(b-3)x2-(c-2b)x+c,化简得(b-3)x2-c=0,∴b=3,c=0.(2)由(1)知g(x)=x3-6x,∴g′(x)=3x2-6=3(x+)(x-).由此可知x(-∞,-)-(-,)(,+∞)g′(x)+0-0+g(x)4-4由表可知g(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞),单调递减区间为(-,),且g(x)在x=-处取得极大值4,在x=处取得极小值-4.9.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.解析:(1) f(x)=alnx+bx2+x,∴f′(x)=+2bx+1.由题意可知f′(1)=f′(2)=0,∴解得a=-,b=-.∴f(x)=-lnx-x2+x.2(2)f′(x)=-x-1-x+1,且原函数定义域为(0,+∞),当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,2)时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.故x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.[B组能力提升]1.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析:y′=aeax+3,令y′=0得x=,即为极值点.由>0得a<-3.答案:B2.已知函数f(x)=ax2+3x+2a,若不等式f(x)>0的解集为{x|10,所以y′=0有两个相异实根,故函...

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