高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1-2.2 圆锥曲线及椭圆 2.1.2 曲线方程的求法练习 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.1.2曲线方程的求法基础巩固强化一、选择题1．已知A(－2,0)，B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是()A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线[答案]D[解析]设顶点C到边AB的距离为d，则×4×d＝10，∴d＝5.∴顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝16D．x2＋y2＝16(x≠±4)[答案]A[解析]由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．3．等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是()A．x－2y＋1＝0(x≠0)B．y＝2x＋1C．x＋2y＋1＝0(y≠1)D．x＋2y＋1＝0(x≠1)[答案]D[解析]由题意可知另一顶点A在边BC的垂直平分线上．BC的中点为(1，－1)，边BC所在直线斜率kBC＝＝2，∴边BC的垂直平分线的斜率k＝－，垂直平分线方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋2y＋1＝0.又顶点A不在边BC上，∴x≠1，故选D.4．方程y＝表示的曲线形状大致为()[答案]C[解析]解法1：当x>0时，y＝＝；当x<0时，y＝＝－，即y＝故选C.解法2：∵y>0，∴排除A、B、D，故选C.5．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为()A.B.C.或D.或[答案]C[解析]将点P坐标代入曲线方程为(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3.∴cosα＝.∵0≤α≤2π，∴α＝或.16．平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为()A．3x－y－20＝0B．3x－y－10＝0C．3x－y－12＝0D．3x－y－9＝0[答案]A[解析]设AC、BD交于点O，∵A、C分别为(3，－1)、(2，－3)，∴O点坐标为(，－2)，设B点坐标为(x，y)，∴D点坐标为(5－x，－4－y)，∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0，故选A.二、填空题7．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为______．[答案]x2＋y2＝4[解析]设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，∵∠APB＝60°，OP平分∠APB，∴∠OPB＝30°，∵|OB|＝1，∠OBP为直角，∴|OP|＝2，∴x2＋y2＝4.8．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是________．[答案]y＝5(x≠0)[解析]由，得k＝(x≠0)，把k＝代入y＝kx＋1，得y＝5.故交点的轨迹方程是y＝5(x≠0)．三、解答题9．已知曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程．[解析]设点M(x，y)是曲线上的任一点，则点M属于集合，有＝，化简得曲线的方程为x2＋y2＋2x－3＝0.10.如图，已知点P(－3,0)，点Q在x轴上，点A在y轴上，且PA·AQ＝0，QM＝2AQ.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．[解析]设动点M(x，y)，A(0，b)，Q(a,0)，∵P(－3,0)，∴PA＝(3，b)，AQ＝(a，－b)，QM＝(x－a，y)，2∵PA·AQ＝0，∴(3，b)·(a，－b)＝0，即3a－b2＝0.①∵QM＝2AQ，∴(x－a，y)＝2(a，－b)，即x＝3a，y＝－2b.②由①②得y2＝4x.∴动点M的轨迹方程为y2＝4x.3