10.1椭圆及其性质【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点椭圆的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2018浙江,17椭圆的标准方程向量、最值★★★2016浙江,7椭圆的标准方程双曲线的标准方程、离心率2015浙江,19椭圆的定义和标准方程直线与椭圆的位置关系、最值、范围椭圆的几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2017浙江,2椭圆的离心率★★★2016浙江,7,19椭圆的离心率双曲线的离心率、圆、直线与椭圆的位置关系2015浙江,19,文15椭圆的离心率直线与椭圆的位置关1系分析解读1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点.2.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质.3.考查把几何条件转化为代数形式的能力.4.预计2020年高考中,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆有关的综合问题上.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义和标准方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,21)已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.解析(1)由已知得c=2,=,解得a=2.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b>0)的离心率为,且经过点(3,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(6,0)的直线l交椭圆于A,B两点,Q是x轴上的点,若△ABQ是以AB为斜边的等腰直角三角形,求直线l的方程.解析(1)由e==a⇒2=3b2,设椭圆方程为+=1,则+=1,所以b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)设AB的中点坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6,则由得(t2+3)y2+12ty+24=0,AB的中垂线方程为y+=-t,所以Q,点Q到直线l的距离为.|AB|=,所以6=2,解得t2=9,所以t=±3.因此直线l的方程为x±3y-6=0.考点二椭圆的几何性质1.(2018浙江镇海中学期中,21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积为2,且经过点.(1)求椭圆C的方程;3(2)若椭圆C的下顶点为P,如图所示,点M为直线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM,且与椭圆C交于A,B两点,与OM交于点N,四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1,S2.求S1S2的最大值.解析(1)因为在椭圆C上,所以+=1,又因为椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为2,所以×2a×2b=2,即ab=,解得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)可知F(1,0),设M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2),则当t≠0时,OM:y=x,所以kAB=-,直线AB的方程为y=-(x-1),即2x+ty-2=0(t≠0),由得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,则Δ=(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)>0,x1+x2=,x1x2=,AB=·=×=,又OM=,所以S1=OM×AB=×=,4由得xN=,所以S2=×1×=,所以S1S2=×==<.当t=0时,直线l:x=1,AB=,S1=××2=,S2=×1×1=,S1S2=,所以当t=0时,S1S2取得最大值,为.2.(2018浙江宁波模拟(5月),21)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点M(-2,1)是椭圆内一点,过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2,设l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点D,E.当M恰好为线段AB的中点时,|AB|=.(1)求椭圆C的方程;(2)求·的最小值.解析(1)由题意得a2=4b2,即椭圆C:+=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).5由作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.又当M(-2,1)为线段AB的中点时,x1+x2=-4,y1+y2=2,∴AB的斜率k==.由消去y得,x2+4x+8-2b2=0.则|AB|=|x1-x2|==.解得b2=3,于是椭圆C的方程为+=1.(2)设直线AB:y=k(x+2)+1,由消去y得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是x1+x2=,x1x2=.·=(+)·(+)=·+·=(-2-x1,1-y1)·(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)·(2+x3,y3-1). (-2-x1,1-y1)·(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2...
