课题：空间向量与运算复习小结课时：10课型：一、复习目标1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.二．知识梳理1．求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则.（3）二面角：①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；②求两个法向量的夹角（或补角）.2．求距离（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由得距离公式：（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.三、双基练习1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）_a_nNMHθ1③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A.3B.2C.1D.02．直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B.C．D．3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k=___4．已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是，.◆答案提示：1.C；2.A；3.；4.（2，1，），dAB=新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆四、典例题解析【例1】【2015全国二卷19．（本题满分12分）】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．解析：（Ⅰ）交线围成的正方形如图：（Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，DD1C1A1EFABCB12，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．A1AB1BD1DC1CFEHGM【例2】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD-中，侧棱1AAABCD底面,ABAC,1AB=,12,5ACAAADCD====,且点M和N分别为11CDBD和的中点.（Ⅰ）求证：//MN平面ABCD；（Ⅱ）求二面角11DACB--的正弦值；（Ⅲ）设E为棱11AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1AE的长.317．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）31010；（Ⅲ）72.解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)ABCD，又因为,MN分别为1BC和1DD的中点，得11,,1,(1,2,1)2MN.（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n为平面ABCD的一个法向量，50,,02MN�，由此可得，0MNn�，又因为直线MN平面ABCD，所以//MN平面ABCD（Ⅱ）1(1,2,2),(2,0,0)ADAC�，设1(,,)nxyz�为平面1ACD的法向量，则11100nADnAC��，即22020xyzx，不妨设1z，可得1(0,1,1)n�，设2(,,)nxyz�为平面1ACB的一个法向量，则21200nABnAC��，又1(0,1,2)AB�，得2020yzx，不妨设1z，可得2(0,2,1)n�4因此有12121210cos,10nnnnnn���，于是12310sin,10nn�，所以二面角11DACB的正弦值为31010.（Ⅲ）依题意，可设111AEAB�，其中[0,1]，则(0,,2)E，从而(1,2,1)NE�，又(0,0,1)n为平面ABCD的一个法向量，由已知得22211cos,3(1)(2)1NEnNEnNEn���，整理得2430，又因为[0,1]，解得72，所以线段1AE的长为72.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线...
