高考数学（考点解读命题热点突破）专题14 空间向量与立体几何 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题14空间向量与立体几何【考向解读】以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.【命题热点突破一】利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例1、【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF⊥平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】（Ⅰ）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且，所以平面，因此．又因为，，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面．方法二：如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．取的中点，则，又平面平面，所以，平面．以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．因此，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为．由，得，取；由，得，取．于是，．所以，二面角的平面角的余弦值为．【变式探究】如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)OM＝，BA＝(－1,0,0)，∴OM·BA＝0,∴OM⊥BA. 棱柱ADE—BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)，由得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)． n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直， CD＝BA，FC＝BC－BF，∴OM·CD＝·BA＝0，OM·FC＝·(BC－BF)＝－BC2＋BF2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．【变式探究】如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴DE＝(－2,4,0)，NC＝(－2,4,0)，∴DE＝NC，∴DE∥NC，又 NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)B1F＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2,2,0)．B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B1F⊥EF，B1F⊥AF，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又 AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.【命题热点突破二】利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，则sinθ＝＝|cos〈a，μ〉|.(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cosθ|＝＝|cos〈μ，v〉|.例2、【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角...