第13课幂函数、函数与方程(本课对应学生用书第24-26页)自主学习回归教材1.幂函数的定义:一般地,函数式y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.所有的幂函数y=xα在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).如果α>0,那么幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是单调增函数;如果α<0,那么幂函数的图象在区间(0,+∞)上是单调减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴的右边无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.3.一些常见幂函数的性质,见表1.表1函数内容性质y=xy=x2y=x3y=12xy=x-1定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增当x∈[0,+∞)时,单调递增;当x∈(-∞,0)时,单调递减增增当x∈(0,+∞)时,单调递减;当x∈(-∞,0)时,单调递减4.对于函数y=f(x),把使方程f(x)=0的实数x称为函数y=f(x)的零点.5.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.因此,函数y=f(x)有零点等价于函数y=f(x)的图象与x轴有交点,也等价于方程f(x)=0有根.6.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时c就是方程f(x)=0的根.但反之,不成立.11.(必修1P73习题5改编)幂函数的图象不过第象限.[答案]四2.(必修1P72定义改编)下列函数中是幂函数的是.(填序号)①y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);②y=13x+x2;③y=xπ;④y=(x-1)3.[答案]③[解析]根据幂函数的概念.3.(必修1P73习题3改编)已知幂函数y=xα的图象过点13,9,那么它的单调增区间是.[答案](-∞,0)[解析]设f(x)=xα,则3α=19,所以α=-2,f(x)=x-2,故f(x)的单调增区间是(-∞,0).4.(必修1P76练习1改编)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.[答案]-12,-13[解析]由222-2a-b0,3-3a-b0,得a5,b-6.所以g(x)=-6x2-5x-1.令g(x)=0,得x=-12或-13.2
