高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.3 抛物线的简单几何性质（2）课时作业（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

课时作业20一、选择题1．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为()A.B．pC．2pD．无法确定解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.答案：C2．[2014·四川省成都七中期中考试]抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A.2B.4C.6D.4解析：本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系．据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P(，m)，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.答案：D3．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：联立则ax2－kx－b＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－.则－＝·，即x1x2＝(x1＋x2)x3，选项B正确．答案：B4．[2013·大纲全国卷]已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D.2解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为MA·MB＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.答案：D二、填空题5．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆C的方程是__________．1解析：由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．设圆心坐标为C(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为(r，r)，于是有(r)2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.答案：(x－4)2＋y2＝166．若直线y＝2x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得，整理得4x2－16x＋9＝0，由根与系数之间的关系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以线段AB的中点坐标为(2,1)．答案：(2,1)7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为__________．解析：由，得x2－2x－2b＝0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．答案：2三、解答题8．[2013·黑龙江省哈尔滨三中期末考试]已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值．解：由，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．9．已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得＝，①c＝1，②∴a＝2，c＝1，b＝，∴椭圆方程为＋＝1.(2)①若直线l的斜率不存在，则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，∴|AB|＝4.又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.∴直线l的斜率必存在．②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，2由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1＋x2＝，x1x2＝1.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝＝＝，∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，∴由＝6，解得k＝±.故所求直线l的方程为y＝±(x－1)．34