【三维设计】2015-2016学年高中数学2.2.1综合法和分析法课时达标检测新人教A版选修1-2一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中应用了()A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法解析：选B符合综合法的证明思路．2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.解析：选B是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以≤＝⇒ab≤，所以＋＝＝≥＝4.4．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则()A.≤fB.＝fC.≥fD.＞f解析：选D因为x1≠x2，所以＝＞＝a＋1＝f，所以＞f.5．A，B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若A>B，则a>b，又＝，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，则由正弦定理得a>b，∴A>B.二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．1解析：a＋b＞a＋b⇔a－a＞b－b⇔a(－)＞b(－)⇔(a－b)(－)＞0⇔(＋)(－)2＞0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b8．已知sinθ＋cosθ＝且≤θ≤，则cos2θ＝________.解析：因为sinθ＋cosθ＝，所以1＋sin2θ＝，所以sin2θ＝－.因为≤θ≤，所以π≤2θ≤.所以cos2θ＝－＝－.答案：－三、解答题9．设x＞0，y＞0，证明不等式(x2＋y2)＞(x3＋y3).证明：法一：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)＞x6＋y6＋2x3y3，即证3x2y2(x2＋y2)＞2x3y3，因为x＞0，y＞0，所以只需证x2＋y2＞xy.又因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2≥2xy＞xy.所以(x2＋y2)＞(x3＋y3).法二：(综合法)因为x＞0，y＞0，所以(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3＞x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，所以(x2＋y2)＞(x3＋y3).10．设f(x)＝lnx＋－1，证明：(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.证明：(1)记g(x)＝lnx＋－1－(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝＋－＜0.又g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)．(2)记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－＜－＝.令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减，又p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜.2
