矩形的判定与性质1、如图，在一个平行四边形的活动框架上，用两根橡皮筋套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状，设这个平行四边形的一个内角为∠α．（1）当∠α为多少度时，平行四边形变成矩形？（2）由矩形的两条对角线相等且互相平分，可以得出“直角三角形斜边上的中线与斜边有怎样的数量关系”？（3）矩形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？（4）矩形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心在何处？2、如图所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．3、如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于E．（1）求证：AE∥BC（2）求证：四边形AECD是矩形；（3）BC=6cm，，求AB的长．4、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．a2-ab=a（a-b）5、如图所示，AC平分∠DAB，AB＞AD，CB=CD，CE⊥AB于E，（1）求证：AB=AD+2EB；（2）若AD=9，AB=21，BC=10，求AC的长．6、如图．直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上．OA∥BC，OA=4，OC=，∠OAB=45°，D是BC上一点，CD=．E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y．（1）AB=______，BC=______7、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1证明：BF=CG；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．8、已知：正方形ABCD的边长为厘米，对角线AC上的两个动点E，F．点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H，过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为x秒，解答下列问题：（1）如图，判断四边形EFGH是什么四边形，并证明；（2）当0＜x＜8时，求x为何值时，S1=S2；（3）若y是S1与S2的和，试用x的代数式表示y．（如图为备用图）9、如图1，两个不全等的四边形ABCD、四边形CGFE是正方形，连接BG，DE．交DC于H，交CG于K（1）观察图形，①猜想BG与DE之间长度关系；②猜想BG与DE所在直线的位置关系，并证明你的猜想．直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是______形（2）如图2，将原题中正方形改为菱形，且∠BCD=∠ECG，则（1）中的①、②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是______形（3）如图3，将原题中正方形改为矩形，且BC=mCG、CD=mCE，则（1）中的①、②结论是否成立？不要证明；直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是______形．10、如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．11、四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分线段AC，∠ABC=90°，AC交BD于O，（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若BH⊥AC于H，AH=1，BH=3，求四边形ABCD的面积．12、如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边的中点．在DB上任取一点P，过P作两腰的垂线段PF、PE．连接EF．求证：EF2=2DF2．13、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．14、如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．（1）求证：BE=DE；（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF=DP．
