高二数学分类计数原理与分步计数原理 知识精讲 人教版VIP免费

高二数学分类计数原理与分步计数原理知识精讲人教版一.本周教学内容：分类计数原理与分步计数原理二.重点、难点重点：1.分类计数原理做一件事，完成它有n类方法，第一类有m1种不同方法，…，第n类有mn种不同方法，则完成这件事共有m1+…+mn种不同方法。2.分步计数原理做一件事，完成它需分n个步聚，做第一步有m1种不同方法，……，做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有m1m2…mn种不同方法。3.分类计数原理与分步计数原理的应用。难点：1.分类计数原理与分步计数原理区别与联系两个基本原理的区别分类计数原理（加法）分步计数原理（乘法）区别一每类办法中的一个办法一但实施，都能独立完成这件事，每一种方法得到的都是最后结果任何一个方法都不能独立完成这件事，每一种方法得到的都是中间结果.各个步骤都完成了，才能完成这件事区别二各类办法之间互斥、并列、独立各步办法是关联的2.分类计数原理与分步计数原理的应用【典型例题】例1.求下列集合的元素个数。（1）M＝{（x，y）|x，yN∈，x＋y≤6}（2）H＝{x，y}|x，yN∈，1≤x≤4，1≤y≤5}解：（1）分5类：（i）x＝1，y有5种取法；（ii）x＝2，y有4种取法；（iii）x＝3，y有3种取法；（iv）x＝4，y有2种取法；（v）x＝5，y只有一种取法。因此M共有5＋4＋3＋2＋1＝15个元素。（2）分两步：（i）先选x，有4种可能；（ii）再选y有5种可能。由乘法原理，H共有4×5＝20个元素。例2.（1）设A＝{a，b，c，d，e，f}，B（x，y，z），从A到B共有多少个不同映射？（2）6个人分到3个车间，共有多少种分法？（3）6个人分工栽3棵树，每人只栽1棵，共有多少种不同方案？解：（1）分6步：先选a的象，有3种可能，再选b的象也是3种可能，…，选f象也有3种可能。由乘法原理知，共有36＝729种不同映射。（2）把6个人构成的集合，看成上面（1）中之A，3个车间构成的集合，看成上面的B。因此所求问题转化为映射问题，如上题所述，共有729种方案。（3）安排第一棵树有6种可能，即6人中任一人都可。再安排第二棵树有5种可能，最后安排第三棵树有4种可能。还剩下3人可以参加栽3棵树的任何一棵，因此有33种可能。所求总数为6×5×4×33＝3240。注：（i）由此例看出有许多问题可转化为映射问题。用心爱心专心（ii）设集合A的元素为n个，集合B的元素为m个，那么A到B的映射有mn种。例3.用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？解：（1）分三步：（i）先选百位数字。由于0不能作百位数，因此有5种选法；（ii）十位数字有5种选法；（iii）个位数字有4种选法。由乘法原理知所求不同三位数共有5×5×4＝100个。（2）分三步：（1）百位数字有5种选法；（ii）十位数字有6位选法；（iii）个位数字有6种选法。所求三位数共有5×6×6＝180个。（3）分三步：（i）先选个位数字，有3种选法；（ii）再选百位数字，有4种选法；（iii）选十位数字也是4种选法。所求三位奇数共有3×4×4＝48个。（4）分三类：（i）一位数，共有5个；（ii）两位数，共有5×5＝25个；（iii）三位数共有5×5×4＝100个。因此比1000小的自然数共有5＋25＋100＝130个。（5）分4类：（i）千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120个；（ii）千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48个；（iii）千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6个；（iv）还有5420也是满条件的1个。故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个。注：排数字问题是最常见的排列组合问题，要特别注意首位不能排0。例4.（2003，天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种（以数字作答）。第一步先涂中间，有4种方法；第二步涂外围：对相对区域分类，不妨先涂2号和5号区域.若2号，5号同色，涂2号，5号两个区域共有3种方法，涂6号区域...