课后提升训练三几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值为()A.B.-C.D.-【解析】选C.y′==k,所以x=,切点坐标为,又切点在曲线y=lnx上,所以ln=1,所以=e,k=.2.下列命题中正确的是()①若f′(x)=cosx,则f(x)=sinx②若f′(x)=0,则f(x)=1③若f(x)=sinx,则f′(x)=cosx④若f(x)=,则f′(x)=A.①B.①②C.③D.①②③④【解析】选C.①当f(x)=sinx+1时,f′(x)=cosx;②当f(x)=2时,f′(x)=0;④若f(x)=,则f′(x)=-.3.(2017·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为()A.B.C.D.【解析】选B.s′=.当t=4时,s′=·=.14.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于()A.64B.32C.16D.8【解题指南】先根据导数求出切线的斜率,利用点斜式写出切线的方程,再求出切线与两坐标轴的交点,然后根据三角形的面积公式列方程求a的值.【解析】选A.因为y′=-,所以当x=a时,y′=-,所以在点(a,)处的切线方程为y-=-(x-a),令x=0,得y=,令y=0,得x=3a.所以×3a×=18,解得a=64.【补偿训练】函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.【解析】选D.因为当x=2时,y′=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-2).当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为×|-e2|×1=.5.(2017·天津高二检测)已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值为()A.4B.-4C.5D.-52【解析】选A.求导得f′(x)=axa-1,因为f′(-1)=-4,所以a(-1)a-1=-4,所以a=4.6.函数y=2x-x2的图象大致是()【解析】选A.分别画出函数f(x)=2x和g(x)=x2的图象,如图所示,由图可知,f(x)与g(x)有3个交点,所以y=2x-x2=0,有3个解,即函数y=2x-x2的图象与x轴有三个交点,故排除B,C,当x=-3时,y=2-3-(-3)2<0,故排除D.7.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为()A.B.C.D.1【解析】选B.对y=xn+1(n∈N*)求导,得y′=(n+1)xn.令x=1,得在点(1,1)处切线的斜率k=n+1.在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,则xn=,故x1·x2·…·xn=×××…×=.38.(2016·山东高考)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3【解题指南】利用基本初等函数的导数公式,求导后,表示出两“切线”的斜率,判断它们的乘积是否为-1.【解析】选A.(1)对于函数y=sinx,y′=cosx,设图象上存在这样两点(x1,sinx1),(x2,sinx2),那么两切线的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1·k2=cosx1·cosx2=-1,则x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2kπ,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在这样的两点,所以具有T性质.(2)对于函数y=lnx,y′=,k1·k2=·,而x1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=lnx不具有T性质.(3)对于函数y=ex,y′=ex,k1=,k2=,显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.(4)对于函数y=x3,y′=3x2,k1=3,k2=3,显然k1·k2≠-1,所以函数y=x3不具有T性质.二、填空题(每小题5分,共10分)9.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.【解题指南】利用导数的几何意义求出切线方程,再求其与x轴的交点横坐标.【解析】因为y′=2x,所以过点(ak,)的切线方程为y-=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21【补偿训练】(2017·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为__________.4【解析】因为y=lnx的导数为y′=,即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·=-1,解得a=-e.答案:-e10.过曲线y=cosx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程为_________.【解析】因为y=cosx,所以y′=-sinx,曲线在点P处的切线斜率是-sin=-,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为,所以所求的直线方程为y-=,即2x-y-+=0.答案:2x-y-+=0三、解答题11.(10分)(2017·济宁高二检测)已知曲线y=5,求:(1)这条曲线与直...
