高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.2 导数与函数的单调性（2）课时作业 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

4.1.2导数与函数的单调性（2）一、选择题1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)≥0.答案：A2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是()解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.答案：A3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则()A．b2－4ac>0B．b>0，c>0C．b＝0，c>0D．b2－3ac≤0解析：∵f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.∴Δ＝4b2－12ac≤0.∴b2－3ac≤0.答案：D4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：令F(x)＝，则F(x)为奇函数，F′(x)＝，∵当x<0时，F′(x)>0.∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.∴当x<－3时，F(x)<0；当－30.又F(x)为奇函数，∴当03时，F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，1∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案：D二、填空题5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为________．解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得1≤k<.答案：[1，)三、解答题8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．解：法一：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．设函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图像是对称轴为x＝且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即t≥5.而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．法二：由题意得f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0.∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．29．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．而G(x)＝(－1)2－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1.(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.因为x∈[1,4]，所以∈[，1]．所以G(x)max＝－(此时x＝4)．所以a≥－.3