（浙江专版）高考数学二轮专题复习 知能专练（十一）数列的综合应用-人教版高三全册数学试题VIP免费

知能专练（十一）数列的综合应用一、选择题1．(2018届高三·金华十校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an，则S2018＝()A．2×31009－2B．2×31009C.D.解析：选A由an＋2＝3an可得数列{an}的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S2018＝(a1＋a3＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋…＋a2018)＝＋＝(－2)×(1－31009)＝2×31009－2.2．(2017·长沙质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2017的值为()A．2017B．2016C．1009D．1008解析：选C因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2016＋a2017)＝1009.3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝()A．200B．－200C．400D．－400解析：选BS100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：选Ca1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·＝n2＝n2＝n2·＝n(n－1)．5．设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()A．25B．50C．75D．100解析：选D当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值，当51≤n≤74时，an>0，当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值，∴当1≤n≤100时，均有Sn>0.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．1101解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N>100，令>100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95<100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440；当t>5时，N>440，故选A.二、填空题7．(2018届高三·浙江名校联考)数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则an＝________，＋＋…＋＝________.解析：依题意an＋1＝an＋n＋1，故an＋1－an＝n＋1，故a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，由累加法可得an－a1＝，an＝，故＝＝2，故＋＋…＋＝2＝.答案：8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析： an＋1－an＝2n，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n.当n＝1时，a1＝2也适合上式，∴an＝2n(n∈N*)．∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－29．已知数列{－n·2n}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋(n＋m)2n＋1<0恒成立，则实数m的取值范围为________．解析： －Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2. Sn＋(n＋m)2n＋1<0恒成立，∴2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意的正整数n恒成立，∴m...