2.4.2抛物线的简单几何性质A级：基础巩固练一、选择题1．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA·OB的值是()A.B．－C．3D．－3答案B解析抛物线y2＝2x的焦点为，当直线AB斜率不存在时，可得A，B，故OA·OB＝·＝－1＝－.故选B.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48答案C解析设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，|AB|即通径为2p＝12，∴p＝6，点P到AB的距离为p＝6，∴S△ABP＝×12×6＝36.故选C.3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为()A．4B．－4C．p2D．－p2答案B解析kOA·kOB＝·＝，根据焦点弦的性质，得x1x2＝，y1y2＝－p2，故kOA·kOB＝＝－4.4．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1B．0C．1D．2答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不满足OA⊥OB，故b＝2.5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于()A．9B．6C．4D．3答案B解析设A，B，C三点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为FA＋FB＋FC＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线的定义，有|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于()A.B.C.D.答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，1由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，① |FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.二、填空题7．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．答案解析可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由消去x得y2－4y＋4m＝0.∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，则所求的最小距离为.8．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为________．答案y2＝12x或y2＝－4x解析设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，①直线变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦长为AB.联立消去y得(2x＋1)2＝ax，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，|AB|＝＝，解得a＝12或a＝－4.∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.9．过点P(2,2)作抛物线y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，则弦AB所在的直线方程为________．答案3x－4y＋2＝0解析解法一：设以P为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝3x1，①y＝3x2，②y1＋y2＝4.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝3(x1－x2)．④将③代入④，得y1－y2＝(x1－x2)，即＝，∴k＝.∴所求弦AB所在直线方程为y－2＝(x－2)，即3x－4y＋2＝0.解法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－2)＋2.由消去x，得ky2－3y－6k＋6＝0，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系，得y1＋y2＝，又 y1＋y2＝4，∴k＝.∴所求弦AB所在直线方程为3x－4y＋2＝0.2三、解答题10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|＝3.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．解(1)由抛物线的定义可知，|PF|＝2＋＝3，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由y2＝4x，得F(1,0)，∴过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝(x－1)．与y2＝4x联立，消去x，得y2－4y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4.∴S△OAB＝S△OAF＋S△OFB＝|y1－y2|＝×＝4.B级：能力提升练1．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2,0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值；(2)若...
