第四章三角函数、解三角形4.6正弦定理、余弦定理试题理北师大版1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．【知识拓展】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(×)(5)在△ABC中，＝.(√)(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.2．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．5B．10C.D．5答案C解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得＝，即＝，∴c＝.3．(2016·江西吉安一中质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，所以sinC0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.②解由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝，所以sinA＝＝.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB.故tanB＝＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝，sinB＝，sinC＝或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或...
