课时作业3几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而′＝0，所以②错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；′＝(－x12)′＝x32＝，所以④正确，故选B.答案：B2．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C.D.解析：∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.答案：C3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D.解析：∵y′＝ex，∴切线的斜率k＝e2，∴切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)，∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.答案：D4．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为()A.B.或C.D.解析：因为y′＝－，令－＝－4，得x＝±，P的坐标为或，故选B.答案：B5．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为()A．1B．eC．－1D.解析：设M(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－lnx0＝(x－x0)．由题意得0－lnx0＝(0－x0)＝－1，即lnx0＝1，所以x0＝e.所以k＝＝.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.答案：1或－7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1.∴lna＝－1.∴a＝.答案：8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．1解析：设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－.由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1,1)．答案：(1,1)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的导数．(1)y＝lg5；(2)y＝x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1.解析：(1)y′＝(lg5)′＝0；(2)y′＝′＝xln；(3)∵y＝＝x12-2＝x32，∴y′＝(x32)′＝x12；(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.10．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.解析：设P点坐标为(x0，y0)，因为y′＝－2x－3，所以y′|x＝x0＝－2x＝tan135°＝－1，即2x＝1，所以x0＝.将x0＝代入曲线方程得y0＝，所以所求P点坐标为.|能力提升|(20分钟，40分)11．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.B.C.D．1解析：由题意得xn＝，则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.答案：B12．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝________________________________________________________________________.解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.答案：cosx13．已知曲线y＝.求：(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝，得y′|x＝x0＝.∵切线与y＝2x－4平行，∴＝2，∴x0＝，∴y0＝.则所求切线方程为y－＝2，即16x－8y＋1＝0.(2)∵点P(0,1)不在曲线y＝上，故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为.又∵切线斜率为，∴＝＝，∴2t－2＝t，得t＝4或t＝0(舍去)，∴切点为M(4,2)，斜率为，∴切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.14．曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．解析：设切点为(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝.因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＝1，所以切点为(1,0)．所以1－0＋c＝0，2所以c＝－1.3
