3.1双曲线及其标准方程[A组基础巩固]1.双曲线-=1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为()A.1或21B.14或36C.2D.21解析:设双曲线的左右焦点分别为F1,F2,不妨设|PF1|=11,根据双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=10,所以|PF2|=1或|PF2|=21,而10,b>0),则由解得∴双曲线方程为-y2=1.答案:A3.已知动点P(x,y)满足-=2,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支解析:-=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2,由双曲线的定义,知动点P的轨迹是双曲线的右支.答案:D4.已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析: 方程-=1表示双曲线,∴(1+k)(1-k)>0,∴(k+1)(k-1)<0,∴-10,∴c=,∴右焦点的坐标为.答案:C6.已知双曲线-=1,F1,F2是其左、右焦点,点P在双曲线右支上.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是__________.解析:设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=r+r-2r1r2cos60°=(r1-r2)2+r1r2,而r1-r2=4,|F1F2|=2,∴r1r2=36,∴S△F1PF2=r1r2sin60°=×36×=9.答案:917.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=________.解析:由已知条件有52=m+9,所以m=16.答案:168.若双曲线kx2-2ky2=1的一个焦点是(-4,0),则k=________.解析:据已知得k>0,于是+=16.解得k=.答案:9.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?解析:(1)当α=0°时,方程化为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<α<90°时,方程化为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆;②当α=45°时,它表示圆x2+y2=;③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程化为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°<α<180°时,方程化为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程化为x2=-1,它不表示任何曲线.10.求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点是(0,-6),经过点A(-5,6);(2)与双曲线-=1有相同焦点,且过点(3,2).解析:(1)由已知,得c=6,且焦点在y轴上,则另一焦点为(0,6).由双曲线的定义,得2a=|-|=8,∴a=4,∴b2=c2-a2=20.∴所求双曲线的标准方程为-=1.(2)解法一由条件可知焦点在x轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则,解得,∴所求双曲线的标准方程为-=1.解法二设所求双曲线方程为-=1(-4<λ<16),则-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为-=1.[B组能力提升]1.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=()A.2B.4C.6D.8解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义得|m-n|=2,①在△F1PF2中,由余弦定理得m2+n2-mn=8,②联立①,②解得mn=4,即|PF1|·|PF2|=4,故选B.答案:B2.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系是()A.|MO|-|MT|>b-aB.|MO|-|MT|=b-a2C.|MO|-|MT|