3.1双曲线及其标准方程[A组基础巩固]1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A．1或21B．14或36C．2D．21解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而10，b>0)，则由解得∴双曲线方程为－y2＝1.答案：A3．已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的左支D．双曲线的右支解析：－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差等于2，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支．答案：D4．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．(－1,1)B．(0，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析： 方程－＝1表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)>0，∴(k＋1)(k－1)<0，∴－10，∴c＝，∴右焦点的坐标为.答案：C6．已知双曲线－＝1，F1，F2是其左、右焦点，点P在双曲线右支上．若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是__________．解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝2，∴r1r2＝36，∴S△F1PF2＝r1r2sin60°＝×36×＝9.答案：917．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.答案：168．若双曲线kx2－2ky2＝1的一个焦点是(－4,0)，则k＝________.解析：据已知得k>0，于是＋＝16.解得k＝.答案：9．当0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？解析：(1)当α＝0°时，方程化为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程化为＋＝1.①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆；②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝；③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程化为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程化为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程化为x2＝－1，它不表示任何曲线．10．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；(2)与双曲线－＝1有相同焦点，且过点(3，2)．解析：(1)由已知，得c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点为(0,6)．由双曲线的定义，得2a＝|－|＝8，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)解法一由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则，解得，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.解法二设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)，则－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线的标准方程为－＝1.[B组能力提升]1．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义得|m－n|＝2，①在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝8，②联立①，②解得mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4，故选B.答案：B2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系是()A．|MO|－|MT|>b－aB．|MO|－|MT|＝b－a2C．|MO|－|MT|
