2.1.1椭圆及其标准方程[课时作业][A组基础巩固]1．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，则M到另一个焦点F2的距离为()A．3B．6C．8D．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－2＝8，故选C.答案：C2．(2015·高考广东卷)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4，又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3，又m＞0，故m＝3.答案：B3．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()A．32B．16C．8D．4解析： |AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8.又 |AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝16.故选B.答案：B4．方程－＝1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线解析： <2<，∴sin2>0，cos2<0且|sin2|>|cos2|，∴sin2＋cos2>0，cos2－sin2<0且sin2－cos2>sin2＋cos2，故表示焦点在y轴上的椭圆．答案：B5．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.解析：由MF1·MF2＝0，得MF1⊥MF2，可设|MF1|＝m，|MF2|＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝·mn＝1，设点M到x轴的距离为h，则×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，故h＝，故选C.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．解析：由c＝2，a＝2b，a2＝b2＋c2，∴3b2＝12，b2＝4，a2＝16，∴标准方程为＋＝1.1答案：＋＝17．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，c＝2，|F1F2|＝4，由于|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，∴a＝4，b2＝a2－c2＝42－22＝12，故椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝18．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________．解析：如图所示，|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，由|AF1|＋|AF2|＝6，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝36.又在△AF1F2中，|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2＝2|AF1||AF2|cos45°，∴36－2|AF1||AF2|－8＝|AF1||AF2|，∴|AF1||AF2|＝＝14(2－)．∴S△AF1F2＝|AF1||AF2|sin45°＝×14(2－)×＝7(－1)．答案：7(－1)9．已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆左、右焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF1F2的面积．解析：(1)由PF1⊥PF2，可得|OP|＝c，得c＝5.设椭圆方程为＋＝1，代入P(3,4)，得＋＝1，解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.(2)S△PF1F2＝|F1F2||yP|＝5×4＝20.10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解析：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．[B组能力提升]1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A．m<2B．15－k>0，即4
