章末综合测评(三)三角恒等变形(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin＝，则sin(－2α)的值为()A．B．－C．D．－B[ sin＝＝sinα＋cosα，∴sinα＋cosα＝，∴等式两边平方可得：1＋sin2α＝，解得sin2α＝，∴sin(－2α)＝－sin2α＝－.故选B.]2．化简：＝()A．2cosαB．2cosαC．2sinαD．sinαA[原式＝＝2cosα.]3．函数f(x)＝3cosx－sinx的图像的一条对称轴方程是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝－A[ f(x)＝3cosx－sinx＝2＝2cos，∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程．故选A.]4．已知向量a＝，b＝(cosα，2)，且a∥b，则cos2α＝()A．B．－C．－D．A[向量a＝，b＝(cosα，2)，且a∥b，可得tanαcosα＝，即sinα＝.所以cos2α＝1－2sin2α＝，故选A.]5．已知0
0， cos2A＝＝2cos2A－1，整理可得：cos2A＝，∴cosA＝.故选D.]6．已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A．B．C．D．B[由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈，所以cosα＝，所以2sinα＝1－sin2α，解得sinα＝，故选B.]7．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)的值为()A．－2B．－11C．－D．A[ <2α<π，∴cos2α＝－.∴tan2α＝＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝＝－2.]8．在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆x2＋y2＝1交点的横坐标为，则cos等于()A．B．－C．－D．A[由题意，得cosα＝，又α为锐角，则cos＝＝＝.]9．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[在△ABC中，tan＝sinC＝sin(A＋B)＝2sincos，所以2cos2＝1，所以cos(A＋B)＝0.从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．]10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos等于()A．B．－C．D．－C[因为0＜α＜，所以＜α＋＜，得sin＝＝；因为－＜β＜0，所以＜－＜，得sin＝＝.则cos＝cos＝coscos＋sin·sin＝×＋×＝.]11．已知函数f(x)＝cossinx，则函数f(x)满足()A．最小正周期为T＝2πB．图像关于点对称C．在区间上为减函数D．图像关于直线x＝对称D[因为f(x)＝cossinx＝(sinx·cosx－sin2x)＝(sin2x－1＋cos2x)＝sin－，当x＝时取最大值，故x＝是对称轴，应选D.]12．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于()A．B．C．D．2D[依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.故β＝.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．cos89°cos1°＋sin91°sin181°＝________．0[cos89°cos1°＋sin91°sin181°＝cos89°cos1°－cos1°sin1°＝sin1°cos1°－cos1°sin1°＝0.]14．已知tanα＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝________．[ tanα＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝.]15．若sin(π－α)＝，α∈，则sin2α－cos2的值等于________．[ sin(π－α)＝，∴sinα＝.又 α∈，∴cosα＝＝，因此，sin2α－cos2＝2sinαcosα－(1＋cosα)＝2××－×＝－＝.]16.＝________．－4[原式＝＝＝＝＝＝－4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且＜α＜，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝.可知(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.又因为＜α＜，所以cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0.所以cosα－sinα＝－.(3)因为α＝－＝－6×2π＋，所以f＝cossin＝cossin＝cos·sin＝cos·sin＝cos·3...
