高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学业分层测评 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

2.1.1合情推理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示：图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2【解析】观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，…….由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.【答案】C2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)【解析】当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)n＋1来控制．【答案】C3．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：图218那么下列4个图形中，图219可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2)B．(1)，(3)1C．(2)，(4)D．(1)，(4)【解析】由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．【答案】C4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)【解析】A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B错误，因为sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny；C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≠x2＋y2；D正确，类比的是加法、乘法的结合律．【答案】D5．给出下列等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111，…猜测123456×9＋7等于()A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113【解析】由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1111111.【答案】B二、填空题6．已知＝2·，＝3·，＝4·，….若＝8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.【解析】由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.【答案】717．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________.【导学号：05410041】【解析】 f(2)＝，f(4)>2＝，f(8)>，f(16)>3＝，∴由此可推测一般性的结论为f(2n)≥.【答案】f(2n)≥8．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________．【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCD·OA＋VOACD·OB＋VOABD·OC＋VOABC·OD＝0.2【答案】VOBCD·OA＋VOACD·OB＋VOABD·OC＋VOABC·OD＝0三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边．(2)三角形的面积S＝×底×高．(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．【解】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积V＝×底面积×高．(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2110(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图2110(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到...