主元思想在含参问题中的应用 学习指导 不分版本试卷VIP免费

主元思想在含参问题中的应用余红丹含参数问题通常含有两个或两个以上变元，我们在解题中可视其中一个为主元，其余视为参数，化多元问题为一元问题，常可降低思维难度。1.主元与次元互换一般地，可把已知范围的那个量看作自变量，另一个看作常量。例1.对于的一切实数，不等式恒成立，求x的取值范围。分析：习惯上把x当作自变量，记函数y＝，于是问题转化为当时，恒成立，求x的范围。解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。若把x与p两个量互换一下角色，即将p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为关于p的一次函数在[0，4]内大于0恒成立的问题。解：设。显然时不满足题意，由题设知当时，恒成立，所以只要，且即且解得或例2.设方程上有实根，求的取值范围。分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a，b满足的条件，视为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程为aob坐标平面上的一条直线l：，P（a，b）为直线上的点，则即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知因为，令，则，且易知函数在上为增函数。所以即。2.常元与变元互换在一个含有变元的式子中，有时将常数视为变元，也即将主要变元视为常数，可产生出乎意料的解题效果。例3.已知，，求证。证明：令，于是得到关于x的方程①。若，由已知，知方程①的判别式。所以方程①有两个相等的实根，所以所以所以即若，则由题设两式易知，，可见也成立。点评：本题若用三角公式证明，不仅代换复杂，而且很难找出A、B、C之间的关系。这里注意观察条件，发现是方程＋的两个相等实数根，从而利用判别式和韦达定理的知识使本题获解。例4.已知二次方程＝0中的a为正整数，问a取何值时，此方程至少有一个非负整数根。分析：按常规，先求出方程的根，再由此式讨论方程至少有一个非负整数根的条件，这是较为困难的。若把a视为主元，解法将变得易行。解：把a视为主元，则方程可改写为关于a的一次方程，于是。因为a为正整数，所以即解得又x是非负整数，所以，或，而当x＝0时，；x＝1时，a＝1。故当a＝1时，此方程至少有一个非负整数根。3.多元问题确定主元含多个参数的问题，可适时确立不同的主元，以达到求解之目的。例5.已知，集合A＝[－1，1]，设关于x的方程的两根为，试问是否存在实数m，使得不等式对任意恒成立？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由。分析：本题含有3个参数a，m，t，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参数，从而将问题解决。解：由得因为所以又而所以由不等式恒成立所以，即恒成立。记，则恒成立所以得所以存在实数m满足题意。例6.已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。解：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积V＝xyz。由题设有所以故体积V（x）下面求x的取值范围。因为，所以y、z是方程的两个实根。由因为所以当时，；当时，。评析：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。