第3篇数论篇第21章十进制整数23.1整数N满足10<N<100,交换N的各个数字的位置后,所得的数比原数小18,这样的整数N的个数是()(A)2(B)3(C)7(D)821.2若n是正整数,则n9999–n5555的末位数字()(A)恒为0(B)有时为0,有时非0(C)与n的末位数字相同(D)无法确定21.3有一串数:1,22,33,44,…,20042004,20052005,20062006.大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和,并且极为a,小光计算剩下的1003个数的末位数字之和,并且记为b,则a-b=()(A)-3(B)2(C)-5(D)521.4符号Rk表示一个k位整数,在它的十进制表示中,k位数各位数字为1,例如R3=111,R5=11111,等等.用R24除以R4,商Q=是一个整数,在Q的十进制表示中,各位数字或为1或为0,在Q中0的个数是()(A)11(B)12(C)13(D)1421.5一个三位数等于它的三个数字的和的半的立方,则此三位数是.★21.6设(abc)是一个各位数字互不相同的三位数.如果(abc)等于它的各位数字之和的k倍,那么将(abc)的各位数字都变动了位置的所有新数之和等于(abc)的各位数字之和倍.★★21.7某三位数,如果它本身增加3,那么新三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的,所有这样的三位数之和是.★★21.8设an表示7n的末两位数,则a1+a2+…+a1997=.★21.912,22,32,…,1234567892的和的个位数字是.21.10用十进制表示71996,则其末三位数字为.★21.11a是大于0的整数,a3与a的个位数字一样,例如43=64与4的个位数字一样.这样的整数a有很多,如果把它们从小到大排列,那么第41个这样的整数是.21.12设n=3×7×11×15×19×…×2003,求n的末位三位数.21.13将一个三位数的数字重新排列,所得的最大三位数减去最小的三位数正好等于原数,求这个三位数.21.14“幸运数”是指一个等于其各位数码(十进制)和的19倍的正整数,求出所有的幸运数.21.15设n为正整数,试证:在n或3n的十进制的各位数字中,至少会出现一个数字1、2或9.21.16用十进制表示某些自然数等于它的各位数字之和的16倍,求所有这样的自然数之和.21.17已知正整数N的各位数字之和为100,而5N的各位数字之和为60,证明:N是偶数.21.18一个十进制的四位整数小于3000,它的数字之和是11,当它用五进制表示的时候,各位数字之和等于9;用六进制表示的时候,各位数字之和等于14;用八进制表示的时候,各位数字之和等于14,问:这个整数十多少?21.19解方程:(求x,y,z):21.20在一种室内游戏中,魔术师要求某参赛者想好一个三位数,然后,魔术师再要求他记下五个数,,,,并把这五个数加起来求出和N,只要讲出N的大小,魔术师能说出原数是什么,如果N=3194,请你确定.21.21把一个四位数的各个数字按反序排列成一个新的四位数,新数正好是原数的四倍,求原数.21.22试求一个四位数,使它恰好等于两个相同自然数的乘积.21.23试求出两个三位数,使得其余所有的三位数之和是这两个三位数之一的600倍.21.14一个正整数,如果它的各位数字之和再加上它的各位数字之积恰好与次数相等,这样的正整数我们叫作巧数,例如29=(2+9)+(2×9)就是一个巧数,试求两位数中的所有巧数,在三位数中有无巧数?如果有,有几个?如果无,证明你的结论.21.25设n是整数,如果n2的十位数字是7,那么n2的个位数字是几?21.26试证明:若一个完全平方数的各位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.21.27试找出所有这样的正整数a:其末位数字是4,而其各位数字的平方和不小于a.21.28一个自然数乘以874,得到的结果是以92结尾的五位数,求数n.21.29求证:如果n是正奇数,那么数A=22n(22n+1-1)在十进制中的最末位数为28.21.30已知m是正整数,求证:是无理数.