导数与函数专练·作业(三十三)1．(2015·山东枣庄检测)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．解析(1) f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0
a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4且f(1)＝－4a，∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3
(2) g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋－＝
x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)单调增加极大值单调减少极小值单调增加当00，故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．2．(2015·湖北黄冈联考)已知函数f(x)＝x3－x－
(1)判断的单调性；(2)求函数y＝f(x)的零点的个数；(3)令g(x)＝＋lnx，若函数y＝g(x)在(0，)内有极值，求实数a的取值范围．解析(1)设φ(x)＝＝x2－1－，其中x>0，φ′(x)＝2x＋>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2) φ(1)＝－10，φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)在(0，＋∞)内有唯一零点．又f(x)＝x3－x－＝x·φ(x)，显然x＝0为f(x)的一个零点，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上有且仅有两个零点
(3)g(x)＝＋lnx＝＋lnx＝lnx＋，则g′(x)＝－＝＝
设h(x)＝x2－(2＋a)x＋1，则h(x)＝0有两个不同的根x1，x2，且有一根在(0，)内．不妨设0
