导数与函数专练·作业(三十三)1．(2015·山东枣庄检测)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．解析(1) f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4且f(1)＝－4a，∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2) g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋－＝.x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)单调增加极大值单调减少极小值单调增加当0
25－1－22＝9>0，故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．2．(2015·湖北黄冈联考)已知函数f(x)＝x3－x－.(1)判断的单调性；(2)求函数y＝f(x)的零点的个数；(3)令g(x)＝＋lnx，若函数y＝g(x)在(0，)内有极值，求实数a的取值范围．解析(1)设φ(x)＝＝x2－1－，其中x>0，φ′(x)＝2x＋>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2) φ(1)＝－1<0，φ(2)＝3－>0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)在(0，＋∞)内有唯一零点．又f(x)＝x3－x－＝x·φ(x)，显然x＝0为f(x)的一个零点，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上有且仅有两个零点.(3)g(x)＝＋lnx＝＋lnx＝lnx＋，则g′(x)＝－＝＝.设h(x)＝x2－(2＋a)x＋1，则h(x)＝0有两个不同的根x1，x2，且有一根在(0，)内．不妨设0e.由于h(0)＝1，故只需h()<0即可，即－(2＋a)＋1<0，解得a>e＋－2.3．(2015·新疆师范大学附中月考)已知函数f(x)＝，其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若直线x－y－1＝0是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的值；(3)设g(x)＝xlnx－x2f(x)，求g(x)在区间[1，e]上的最大值．(其中e为自然对数的底数)解析(1)f′(x)＝(x≠0)，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f′(x)<0；在区间(0,2)上，f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间是(0,2)．(2)设切点坐标为(x0，y0)，则解得x0＝1，a＝1.(3)g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g'(x)＝lnx＋1－a.令g′(x)＝0，得x＝ea－1.当ea－1≤1，即00，解得a<.所以当10)．令f′(x)>0，即(5x－2)(x－2)>0，∴02.∴f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，＋∞)．(2) f′(x)＝，a<0.令f′(x)＝0，得x＝－或x＝－.当0－时，f′(x)>0；当－4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上取最小值为f(1)或f(4)．而由①知f(1)＝8时不符合题意．∴f(4)＝8，即2(64＋16a＋a2)＝8，解得a＝－10或a＝－6(舍去)．综上所述，a＝－10.5．已知函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的最小值；(2)若对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围．解析(1)f(x)的导函数f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0.从而f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以当x＝0时，f(x)取得最小值1...
