1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时演练·促提升A组1.若f(x)=,则f'(-1)=()A.0B.-C.3D.解析:∵f'(x)=()'=()'=,∴f'(-1)=.答案:D2.函数y=在点P处的切线斜率为-4,则P的坐标为()A.B.C.D.解析:∵y'=-,令-=-4,得x=±,∴P的坐标为.答案:C3.函数f(x)=x2,g(x)=lnx,若f'(x)-g'(x)=1,则x=()A.-B.1C.-或1D.或1解析:∵f'(x)=2x,g'(x)=,∴2x-=1.∴2x2-x-1=0,解得x=1或x=-.又∵g(x)有意义时,x>0,∴所求x=1.答案:B4.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有()A.1条B.2条C.3条D.不确定解析:∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则3=1,得x0=±,即在点和点处的切线的斜率为1.答案:B5.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.B.[0,π)C.D.解析:∵(sinx)'=cosx,又∵kl=cosx,∴-1≤kl≤1,∴直线l的倾斜角的范围是.答案:A6.设函数f(x)=logax,f'(1)=-1,则a=.解析:∵f'(x)=,∴f'(1)==-1.∴lna=-1.∴a=.答案:7.直线y=e2x+b是曲线y=ex的一条切线,则b=.解析:∵y'=ex,设切点为(x0,y0),则=e2.∴x0=2,∴y0=e2.又y0=e2x0+b,∴b=-e2x0+y0=-2e2+e2=-e2.答案:-e28.求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=;(3)y=-2sin;(4)y=log2x2-log2x.解:(1)y'=()'=()'=.(2)y'='=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=-.(3)∵y=-2sin=2sin=2sincos=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y'=(log2x)'=.19.求过曲线y=sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程.解:∵y=sinx,∴y'=cosx,曲线在点P处的切线斜率是:y'=cos.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为-,故所求的直线方程为y-=-,即2x+y-=0.B组1.已知直线y=kx是曲线y=lnx的切线,则k=()A.eB.-eC.D.-解析:设切点为(x0,y0),则由y'=,得=k,又y0=kx0,y0=lnx0,从而联立解得y0=1,x0=e,k=.答案:C2.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,fn+1(x)=fn'(x),n∈N,则f2015(x)等于()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx解析:∵f0(x)=sinx,∴f1(x)=f'0(x)=cosx,f2(x)=f'1(x)=-sinx,f3(x)=f'2(x)=-cosx,f4(x)=f'3(x)=sinx,∴fn(x)的值具有周期性,且周期为4.∴f2015(x)=f3(x)=-cosx.答案:D3.设曲线y=xn+1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2x1+log2x2+log2x3=.解析:曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线斜率k=y'|x=1=(n+1)×1n=n+1,则在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=,所以log2x1+log2x2+log2x3=log2+log2+log2=log2=log2=-2.答案:-24.设直线l1与曲线y=相切于点P,直线l2过P且垂直于l1,若l2交x轴于Q点,又作PK垂直x轴于K,求线段KQ的长.解:如图,设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,点P的坐标为(x0,y0),由题意知x0≠0,则k1=y',由l2与l1垂直,知l2的斜率k2=-2.于是l2:y-y0=-2(x-x0),令y=0,则-y0=-2(x-x0),将y0=代入上式,得xQ=+x0,易得xK=x0.∴|KQ|=|xQ-xK|=.5.如图,已知双曲线y=,A为其在第一象限分支上的一点,试判断过点A能否作一条直线与第三象限的分支相切?若能,求出这条直线的方程;若不能,请说明理由.2解:假设能作.设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-y0=-(x-x0).又y0=,且切线过点,∴=-(2-x0),∴2x0-=4-2x0,-4x0+4=0,x0=2,∴切点坐标为,∴过点A只能作一条直线与曲线y=在第一象限分支相切,不能作一条直线与第三象限的分支相切.3
