穿越自测一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ·理3，本题考查了复数的概念和运算，命题的真假性判断]设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.2．[2017·全国卷Ⅱ·理1，本题考查了复数的计算，考查了运算求解能力]＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案D解析＝＝＝2－i.故选D.3．[2017·全国卷Ⅱ·理7，本题考查了分析推理能力]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.4．[2017·全国卷Ⅱ·理11，本题考查了利用导数求函数的极值，考查了运算求解能力]若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案A解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，1且x<－2时，f′(x)>0；－21时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.5．[2017·全国卷Ⅲ·理2，本题考查了复数运算，模的求解，考查了运算求解能力]设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.B.C.D．2答案C解析由(1＋i)z＝2i得z＝＝1＋i，∴|z|＝.故选C. 2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝.故选C.6．[2017·北京高考·理2，本题考查了复数的计算，复数的几何意义]若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)答案B解析 (1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又 复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴解得a＜－1.故选B.7．[2017·山东高考·理2，本题考查了复数的运算，考查了运算求解能力]已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝()A．1或－1B.或－C．－D.答案A解析 z·＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2. z＝a＋i，∴|z|＝，∴＝2，∴a＝±1.故选A.二、填空题8．[2017·天津高考·理9，本题考查了复数的计算，考查了运算求解能力]已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．答案－2解析 a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.9．[2017·山东高考·理15，本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生分析，推理能力，运算求解能力]若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函...
