3.2复数的四则运算[A基础达标]1．设复数z＝，则z的共轭复数为()A．1B．－1C．iD．－i解析：选D．z＝＝·i＝i，于是z的共轭复数为－i.2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4解析：选D．因为＝3＋i，所以2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，又a∈R，所以a＝4.3．已知复数z＝1－i，则＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：选B．法一：因为z＝1－i，所以＝＝＝－2i.法二：由已知得z－1＝－i，从而＝＝＝＝－2i.4．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i解析：选A．由题意z＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A．5．若ω＝－＋i，则ω＋＝________．解析：ω＋＝－＋i＋＝－＋i－－i＝－1.答案：－16．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．解析：因为＝＝(25＋15i)＝5＋3i，所以a＝5，b＝3.所以a＋b＝5＋3＝8.答案：87．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝________．解析：由题意可知＝＝－i＝－＋i，因此＝－.化简得5a2－5＝3a2＋3，所以a2＝4，则a＝±2.由－＝可知a<0，所以a＝－2.答案：－28．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·z＝________．解析：因为z＝1＋2i，所以z＝1－2i.所以·z＝z·z＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：＋＋.解：原式＝＋＋1＝i＋(－i)1009＋＝i－i＋0＝0.10．已知复数z1＝a＋2i(a∈R)，z2＝3－4i，且为纯虚数，求复数z1.解：＝＝＝，因为为纯虚数，所以3a－8＝0，a＝，z1＝＋2i.[B能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则()A．a－5b＝0B．3a－5b＝0C．a＋5b＝0D．3a＋5b＝0解析：选D．因为z＝＋bi＝＋bi＝＋(＋b)i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；对于③，(z1*z2)*z3＝(z1z2)z3＝z1z2z3，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2z3)＝z1z2z3，显然不成立；对于④，由于z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z1，显然不一定成立．答案：23．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，求x与y的值．解：根据已知条件x是实数，y是纯虚数，可设y＝bi(b∈R，b≠0)，代入关系式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，整理得：(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，根据复数相等的充要条件，可得解得则有4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z＋是实数且1＜z＋≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．解：设z＝x＋yi(x，y∈Z)，则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋∈R，得y－＝0，所以y＝0或x2＋y2＝10.若y＝0，1＜x＋≤6无解，所以x2＋y2＝10.从而z＋＝2x∈(1，6]．又x，y∈Z，所以x＝1或x＝3.若x＝1，则y＝±3；若x＝3，则y＝±1.所以z＝1±3i或z＝3±i.23
